CHAPITRE I. — PLANS TANGENTS PAR UN POINT EXTÉRIEUR. l

aisément de l'autre, en examinant si l'un de ses points (M, M') est placé rtudessus de 1 equateur CD'.

De même, pour les points situés sur le méridien principal (X'G'Y'D', CD), les plans tangents de l'ellipsoïde se trouveront (n° 129) perpendiculaires au plan vertical ; ainsi leurs traces passeront par le point V, et seront les deux tangentes V'X', V'Y', dont les points (*) de contact X' et Y' devront être projetés en X et Y sur CD. D'ailleurs, comme ces deux points sont placés sur le contour apparent de la surface par rapport au plan vertical, ils sépareront l'arc visible X'M'Y' de tare invisible X'N'Y' sur cette projection; et l'on distinguera le premier de ces deux arcs, en examinant si l'un de ses points (M, M') est placé en avant du plan vertical CD qui contient le méridien principal.

365. Points limites. Nous entendons par là les points où la tangente de la courbe de contact se trouvera horizontale, et qui seront par conséquent plus haut ou plus bas que tous les points voisins. D'abord, cette circonstance ne pourra se rencontrer que dans le méridien VO qui passe par le sommet (V, V) du cône circonscrit : en effet, la méthode générale qui. a fourni (n° 558) les points (M, M') et (N, N'), montre évidemment que les divers points de la courbe sont deux à deux situés sur des cordes horizontales (MN, M'N') que le plan vertical \0 divise chacune en deux parties égales; donc, lorsqu'un de ces points correspondants se trouvera dans le plan vertical VO, l'autre s'y trouvera aussi , et par suite la corde relative à ces points ainsi confondus, sera devenue tangente à la courbe, sans avoir cessé d'être horizontale.

Maintenant , pour déterminer ces points limites que nous savons être placés sur le méridien VO, j'observe que la droite qui joindrait l'un d'entre eux avec (V, V), serait nécessairement tangente à la méridienne VO , puisqu'elle se trouverait à la fois dans le plan de cette courbe et dans le plan tangent de rellipsoïde; donc, si je rabats cette méridienne sur le plan vertical, ainsi que le point (V, V) qui sera transporté évidemment en V", puis que je mène la tangente VU', dont je déterminerai exactement le point de contact U' au moyen des cordes supplémentaires, il n'y aura plus qu'à projeter ce point en U, et à le ramener par un arc de cercle horizontal dans sa véritable position (R , R'). Ce sera là le point le plus bas de la courbe , et la tangente

(*) Il suffira de mener ces tangentes avec une règle appuyée sur le point V et sur le méridien; mais ensuite, il faudra fixer leurs points de contact avec précision, en se servant des cordes supplémentaires de l'ellipse méridienne.

l84 LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... N'EST PAS DONNÉ.

horizontale U'R' indiquera le dernier des parallèles qui peuvent contenir des points de cette ligne. ,

IjC point le plus haut (T, T') s'obtiendrait semblablement ; mais nous n'avons pas voulu effectuer la construction qui s'y rapporte , dans la crainte de jeter quelque confusion sur la figure.

364. Dans l'exemple actuel où la surface de révolution est du second degré, la courbe de contact est nécessairement plane (n° 555), et ici c'est une ellipse qui a pour un de ses axes, dans l'espace, la droite (RT, R'T'); puisque les tangentes aux extrémités de cette ligne lui sont perpendiculaires, attendu qu'elles le sont au plan vertical VO (n° 565). Il serait même facile d'en conclure le deuxième axe et les deux autres sommets, en faisant une section horizontale dans l'ellipsoïde par le milieu de la droite (RT, R'T'); et l'on doit observer que ces deux diamètres principaux resteront les axes de la projection horizontale RLTK, parce que l'un d'eux étant horizontal, l'angle • compris entre leurs projections demeurera droit ; tandis que sur le plan vertical, ces deux diamètres ne seront plus perpendiculaires l'un à l'autre, et deviendront simplement deux diamètres conjugués obliques de la courbe R'L'T'K'.

563. REMARQUE. Si l'on se rappelle que toute surface de révolution peut être considérée comme l enveloppe d'un cône mobile (n° 194) toujours circonscrit le long d'un parallèle, ou bien encore comme l'enveloppe d'un cylindre mobile (n" 196) toujours circonscrit le long d'un méridien , on sentira que dans les deux méthodes employées n°'557 et 569, nous avons eu pour but de substituer à la surface de révolution proposée, une enveloppée conique ou cylindrique , pour laquelle la construction du plan tangent mené du point (V, V), était plus facile que pour la surface primitive. Or, comme les surfaces de révolution admettent aussi une enveloppée sphérique (n° 195) dont le rayon est la normale au méridien, il en résulte une troisième méthode, moins avantageuse dans la pratique, mais qu'il est intéressant de connaître.

FiG. 84. 566. Troisième méthode, par une enveloppée sphérique. Avec la normale E'w du méridien , traçons un cercle qui , en tournant autour de l'axe vertical , engendrera une sphère évidemment tangente à la surface de révolution S tout le long du parallèle E'F'; puis, imaginons .un cône circonscrit à cette sphère , et ayant pour sommet le point donné ( V, V ). La courbe de contact de ce cône auxiliaire avec la sphère, sera un petit