CHAPITRE II. — PLANS TANGENTS PARALLÈLES A UNE DRQITE. igS

règle précédente, il coïncidera entièrement avec le cône O'e'/'; et toutes les opérations ultérieures redevenant les mêmes que ci-dessus, nous en conclurons que les arêtes de contact avec les plans tangents cherchés, se trouvent encore projetées horizontalement sur les rayons 0/9, O^, qui par leur rencontre avec le cercle EmF, fourniront aussi les points demandés. Toutefois, il faudra ici prolonger ces rayons au-delà de O, pour obtenir la véritable position des points m" et n", que Ton projettera en m" et n'" sur le parallèle E'" F'"; et la raison de cette différence tient à ce que ce parallèle était situé sur la nappe supérieure du cône Z"'E"'F"', tandis que le cercle ep/ auquel nous menons les tangentes ap, aq, se trouve sur la nappe inférieure de ce cône transporté dans la position O'e'f.

586. Méthode du méridien. Si l'on veut obtenir les points de la courbe en FiG. 86. question, qui seraient situés sur un méridien donné aOê, on imaginera par tous les points de cette méridienne , des droites perpendiculaires à son plan, lesquelles formeront un cylindre horizontal évidemment circonscrit à la surface de révolution, tout le long de cette méridienne. Alors, si l'on mène à ce cylindre auxiliaire un plan tangent parallèle à (AB, A'B'), ce plan touchera la surface S dans le point où il rencontrera la méridienne aê, base du cylindre; et par conséquent ce point appartiendra à la courbe cherchée, qui est (n" 378 j le lieu de tous les points de contact des plam tangents de S menés parallèlement à la droite (AB.A'W).

Pour construire ce plan tangent au cylindre auxiUaire qui est horizontal, je tire (n'' 117) la droite (Ort, O'a') parallèle à (AB, A'B'), et du pied (a, a') j abaisse une perpendiculaire ap sur le plan vertical aOê; alors, en joignant le point p avec (O, O'), j'aurais la direction suivant laquelle il faudrait mener une tangente à la méridienne aê, base du cylindre proposé. Mais, pour pouvoir effectuer cette opération , je rabats sur le plan vertical cette méridienne et la droite qui réunirait les points p et (O, O') : par là, le point p se transporte en (e, e'), et la droite en question devient (Oe, O'e'); je mène donc parallèlement à cette dernière, une tangente Z'E' au méridien principal, et le point de contact (E', E) étant ramené dans le méridien primitif Oa par un arc de cercle, fournira le point demandé (m, m').

Gomme on peut mener au méridien principal , une seconde tangente parallèle à O'e', il existe un second point de contact (F", F) qui, ramené dans le méridien aOê, fournira un nouveau point (m", m") appartenant aussi à la courbe cherchée.

387. Nous retrouvons ici deux points que nous avons déjà construits par Tautre méthode , attendu que le méridien aOo a été choisi de manière à pas-

194 LIVRE V. — PLAINS TANGENTS DONT LE POINT... n'eST PAS DONNÉ.

ser par ces mêmes points ; et par-là nous avons voulu manifester cette circonstance remarquable, que si les deux méthodes sont fondées sur des considérations très-différentes, elles emploient du moins les mêmes opérations graphiques exécutées dans un ordre précisément inverse. Mais , outre les points situés sur un parallèle ou sur un méridien quelconque, il en est plusieurs qui s'obtiennent par des procédés directs , et nous recommandons au lecteur de commencer le tracé de l'épure par la recherche de ces points remarquables. Fi G. 86. 388. Points sur les contours apparents. Pour les points de la courbe en question qui se trouveront sur lequateur (CD', G/D), les plans tangents de la surface seront verticaux ; ainsi les traces horizontales de ces plans seront des droites parallèles à AB et tangentes au cercle G /D. Donc , en tirant le diamètre A/ perpendiculaire à AB, les extrémités A: et / que l'on projettera sur G'D' eu k' et /', fourniront les points demandés. D'ailleurs l'arc de courbe qui sera visible sur le plan horizontal, se terminera précisément à ces deux points, puisqu'ils appartiennent au contour apparent de la surface par rapport à ce plan de projection; et cet arc visible Imnk se distinguera du reste de la courbe, en examinant si un de ses points [m^m') se trouve au-dessus de l'équateur G'D'.

Quant aux points de la courbe qui seront placés sur le contour apparent de la surface relativement au plan vertical, c'est-à-dire sur le méridien principal, on observera que les plans tangents correspondants se trouveront perpendiculaires au plan vertical; donc leurs traces seront des droites paralldes'à A'B' et tangentes à la méridienne E' G' E". Ainsi, en menant ces tangentes, et déterminant leurs points de contact x' et j', que l'on projettera sur GD en xet j,on obtiendra les points cherchés , lesquels formeront aussi les extrémités de l'arc de courbe visible sur le plan vertical; cet arc sera ici x'm'j', parce que l'un de ses points (m, m') se trouve placé en avantdu plan vertical GD qui contient le méridien principal.

589. Les points limites, c'est-à-dire ceux où la tangente de la courbe sera horizontale, se trouveront nécessairement situés dans le méridien Oa parallèle à la droite donnée (AB, A' B'). En effet, il résulte évidemment de la construction générale qui a fourni les deux points (m, m') et {n^n') relatifs à un même parallèle , que ce plan vertical Oa divise en deux parties égales toutes les cordes qui lui sont perpendiculaires, telles que (mn, m'n'); donc, lorsqu'un de ces points se trouvera dans le plan méridien Oa, l'autre point correspondant devra s'y trouver pareillement, et la droite indéfinie qui les réunissait, sera devenue tangente à la courbe, sans avoir cessé d'être horizontale.

Maintenant, pour construire ces points placés sur le méridien Oa, j'ob-