CHAPITRE II. — PLANS TANGENTS PARALLÈLES A UNE DROITE. igS

serve que l'arête du cylindre cirjconscrit qui passerait par lun d'eux, se trouverait uécessairement tangente à la méridienne Oa, puisqu'elle serait dans son plan; par conséquent il suffira de mener des tangentes à cette méridienne, parallèlement à la droite (AB,A'B'). A cet effet, je rabats sur le plan vertical, le méridien Oa et la droite (Oa, O'a') déjà parallèle à (AB, A'B'); cette droite rabattue devient O' a", et en tirant dans cette direction une tangente au méridien principal, le point de contact u' se projette en n; puis , lorsqu'on ramènera ce point dans le méridien primitif Oa, il prendra la position (r, r') qui est le point le plus bas de la courbe. Le point le plus haut (<, t') s'obtiendra d'une manière semblable, en menant au méridien principal une seconde tangente parallèle à O'rt"; mais dans l'exemple actuel où le méridien est une ellipse, on sait que les deux points de contact de ces tangentes parallèles, seraient sur un même diamètre dont le milieu O' restera immobile quand on fera tourner le méridien autour de l'axe vertical; par conséquent les deux points (r, r') et (f, t') devront encore se trouver sur un diamètre de la surface, et ce dernier pourra se déduire de l'autre.

390. Cette relation, et la dépendance analogue qui existe manifestement ici entre les points {m, m') et (m", m'"), (n, n') et (n", n'"),..., est une suite nécessaire du théorème démontré au n° 581, d'après lequel on a vu que, quand la surface est du second degré, la courbe de contact d'un cylindre circonscrit est tout entière dans le plan diamétral conjugué avec le diamètre (Oa, O'a') ; d'où il résulte évidemment que le centre (O, O') de la surface du second degré, doit être aussi le centre de la courbe de contact. On peut encore observer que les deux axes de cette courbe dans l'espace , sont les diamètres (/î/, A'/') et (/t, r'f'), puisque les tangentes menées aux extrémités de chacun d'eux lui'sont perpendiculaires (n° 589). Puis, comme un de ces deux axes est horizontal, ils continueront d'être les diamètres principaux de la courbe en projection horizontale ; mais il n'en sera pas de même sur le plan vertical , où ils deviennent simplement diamètres conjugués obliques.

591. Troisième méthode, par une enveloppée sphérique. D'après les remar- PiG. 86, ques faites au n° 565, nous pouvons obtenir les points de la courbe précédente, qui sont situés sur un parallèle donné E'F', en substituant à la surface de révolution S, une sphère qui lui soit circonscrite le long de ce parallèle, et dont le rayon sera la normale F'w au point F' du méridien principal. En effet, imaginons un cylindre auxiliaire circonscrit à cette sphère, et parallèle à (AB, A'B'); la courbe de contact sera ici un grand cercle perpendiculaire à cette droite (n° 581, note), çt comme dans les points où ce grand cercle ren-

196 LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... n'eST PAS DONNÉ.

contrera le parallèle E'F', les plans tangents de la sphère seront communs à la .surface S , il s'ensuit que ces points appartiendront à la courbe demandée , dont le caractère consiste en ce que chaque plan tangent de S se trouve parallèle à (AB, A'B'). Or, si nous faisons tourner autour de la verticale O, la sphère et le cylindre circonscrit, ainsi que la droite (Oa,0'a') qui indique la direction des arêtes de ce cylindre, jusqu'à ce que cette dernière droite soit venue dans la position O'a" parallèle au plan vertical, alors le grand cercle de contact sur la sphère, se trouvera projeté suivant le diamètre yoiâ perpendiculaire à O'a"; et dans cette situation, ce grand cercle coupera le parallèle E'F' en deux points placés aux extrémités de la corde horizontale projetée en s'. Mais cette corde ne changera pas de distance par rapport à l'axe vertical O , quand nous ramènerons le système dans l'état primitif; par conséquent, si l'on rapporte par un arc de cercle, le point s' en esur le méridien Oa, et que l'on tire la corde msn perpendiculaire à Oa , les points m et n où cette corde rencontrera le parallèle EmF, seront les points demandés qu'il faudra ensuite projeter sur E'F', en m' et n'.

PROBLEME 2. Mener à une surface de révolution, un plan tangent parallèle à une droite donnée , et dont le point de contact se trouve sur un parallèle connu. • > i

592. Il ne sera pas nécessaire ici , comme nous l'avions indiqué généralement au n° 380, de construire la courbe de contact de la surface de révolution avec un cylindre circonscrit, dont les arêtes seraient parallèles à la droite donnée; mais il suffira d'appliquer immédiatement au parallèle assigné par la question , la méthode du n° 584 ou celle du n" 591 , ce qui fera connaître le point de contact du plan demandé; après quoi, la construction de ce plan deviendra bien facile.

PROBLEME 5. Mener à une surf ace de révolution , un plan tangent parallèle à une droite donnée, et dont le point de contact se trouve sur un méridien connu.

595. On résoudra encore directement ce problème , en appliquant au méridien donné par la question , la méthode exposée n° 586 ; car elle fera connaître immédiatement le point de contact du plan tangent cherché , ce qui suffira pour construire ce plan.

PROBLÈME i. Construire la courbe de contact d'une surface quelconque