CHAPITRE m

Des plans tangents menés par une droite donnée.

395. Pour résoudre généralement ce problème par rapport à une surface quelconque S, qu'il faut supposer non développable , puisque autrement la question serait impossible (n° 549), imaginons un cône circonscrit à S et dont le Fig. 8 ■ sommet V soit placé arbitrairement sur la droite donnée AB ; puis déterminons , par quelqu'une des méthodes exposées précédemment, la courbe de contact XX Y de ce cône avec la surface S. Cette courbe étant (n" 548) le lieu des points de contact de tous les plans tangents de S qui vont passer par le point V, elle contiendra nécessairement le point de contact X du plan tangent mené par A VB ; et si l'on construit de même la courbe de contact X'X Y' d'un second cône circonscrit à S, et ayant aussi son sommet V sur AB, cette courbe devra encore passer par le point cherché X, qui sera conséquemment fourni par l'intersection des deux lignes XXY et X'X Y'.

Réciproquement, tout point 1 oa fx qui sera commun à ces deux courbes, satisfera aux conditions du problème; car, dès lors que le point /jl se trouve sur XY, le plan tangent de S en |x, passera par le point V; puis, à cause que

198 LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... n'EST PAS DONNÉ.

ce point p, se trouve sur X'Y', ce même plan tangent passera par V; d'où l'on doit conclure qu'il renfermera la droite donnée AB.

596. On peut aussi combiner la courbe XXY avec la ligne de contact xXj d'un cylindre circonscrit à S, parallèlement à la droite AB. En effet, cette dernière ligne est le lieu des points de contact de tous les plans tangents de S qui sont parallèles à AB (n° 578); et comme le plan cherché satisfait à cette condition, son point de contact X devra se trouver encore sur la courbe xky. Réciproquement, pour tout point commun aux courbes xky et XXY, le plan tangent de S satisfera aux deux conditions suivantes : i". d'être parallèle à AB ; 2". de passer par le point V; donc ce plan renfermera bien la droite AVB.

597. Il résulte de là que, quand les courbes aj, XY, X'Y',.... ne se rencontreront pas, le problème de mener un plan tangent à la surface S par la droite donnée AB, deviendra impossible; et l'on sent bien à priori que cela doit arriver pour certaines positions de cette dioite.

"598. Remarques. I^orsque la surface proposée S est du second degré, on sait (n" 555) que toutes les courbes de contact XY , X'Y', X"Y",.... des cône> circonscrits dont hs sommets se trouvent sur AB, sont planes ; par conséquent les plans de ces courbes ont alors pour intersection commune, la corde Xjn qui réunit les points de contact des deux plans tangents menés par AB à la surface S. Il est d'ailleurs facile de voir que cette corde est conjuguée avec le plan diamétral qui passerait par AB.

599. En outre, quand la droite AB se trouvera située dans un plan principal de la surface S , que nous appellerons horizontal pour simplifier le langage, les plans des courbes XY, X'Y', X"Y",.... qui sont (n^ 555) respectivement parallèles aux plans diamétraux conjugués avec les droites VO, VO', V"0", seront tous verfacaux, et par suite les courbes XY, X'Y',.... se projetteront suivant des droites qui passeront toutes par le point où se projettera la corde X/u,; puis, comme d'ailleurs les cônes circonscrits à la surface S se projetteront euxmêmes suivant des couples de tangentes à la section principale, on peut en conclure ce théorème remarquable de géométrie plane ; si ton fait mouvoir sur une droite AB le sommet V dun angle variable XVY dont les cotés demeurent tangents à une courbe du second degré, les cordes qui joindront deux à deux les points de contact de ces tangentes correspondantes , se rencontreront toutes en un point unique, lequel sera situé sur le diamètre conjugué avec la droite AB. Cette dernière circonstance résulte de ce que la corde Xft se trouvait