CHAPITRE III. — PLANS TANGENTS MENÉS PAR UNE DROITE. 20I

le petit cercle rabattu suivant ETF, seront les deux extrémités de la corde ; et il n'y aura plus qu'à les ramener sur EF, par des perpendiculaires SX et T/x, puis enfin à projeter les points X et jx sur E'F', en X' et fj/.

404. Troisième méthode. Après avoir déterminé seulement les droites EF FiG. 8.7. et E'F', au moyen des couples de tangentes menées à la sphère par les points

A et B% et avoir observé que ce sont là les projections de la corde qui réunit les deux points de contact des plans tangents demandés, on peut éviter de tracer une nouvelle circonférence , en cherchant la rencontre de cette corde (EF, E'F') avec le grand cercle qui la contient. Le plan de ce dernier aura pour trace horizontale OK, et en le rabattant autour de cette droite, ce grand cercle se confondra avec le contour de la sphère. Quant à la corde (EF, E'F') emportée parle même mouvement, elle passera toujours par le point K qui, étant sur la charnière, demeure immobile; tandis que le point (L, L') de cette corde décrira un arc de cercle dont le rayon sera la perpendiculaire abaissée de ce point sur OK. Or, si l'on tire LM à angle droit sur OK, il est facile de voir que le rayon en question aboutira en M, et se trouvera Thypoténuse d'un triangle rectangle ayant pour côtés LM et LL' ; si donc on construit ce triangle NLM , et que l'on prolonge LM d'une quantité Ml" = MN , le point /" sera la position que prendra (L, L') après le rabattement de la corde, et par conséquent cette droite deviendra Kl". Alors les points P et Q où cette dernière ligne coupera le contour de la sphère, seront les points cherchés qu'il faudra ensuite ramener , par des perpendiculaires à la charnière OK , en X et (x sur EF; puis enfin, on projettera ces derniers points sur E'F' en X' et /x'.

405. Quatrième méthode. Dans cette méthode , qui deviendrait nécessaire FiG. 88 si les deux traces de la droite donnée étaient placées à des distances trop considérables , on regarde comme construits , les deux plans tangents menés à

la sphère par la droite (AB, A'B'); puis, en les coupant par un plan conduit suivant les rayons qui aboutissent aux points de contact , il est clair qu'on aura pour sections deux droites tangentes au grand cercle contenu dans ce plan sé-^ cant , et que la connaissance de ces tangentes suffira pour déterminer les points de contact cherchés. Or, il est aisé de construire ces tangentes, parce que le plan sécant dont nous parlons, passant par deux rayons respectivement perpendiculaires aux plans tangents , se trouvera lui-même perpendiculaire à ces deux-ci, et par conséquent il le sera à leur intersection (AB , A'B'); ainsi ses traces seront les droites OC et OD' menées à angle droit sur AB et A'B'. D'ailleurs ce plan GOD' coupera la droite ( AB , A'B') en un point (B , R') que

102 LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... n'eST PAS DONNÉ.

l'on sait construire (n« 30), et d'où il faudra mener des tangentes au grand cercle (*) suivant lequel la sphère est coupée par ce même plan GOD'. Pour cela, rabattons ce plan autour de sa trace horizontale OG : le grand cercle en question viendra se confondre avec le contour de la sphère; le point (R, R') décrira autour de la charnière OG , un arc dont le rayon Sera la perpendiculaire (RG, R'G') abaissée sur cette droite; donc, en construisant la vraie grandeur GH de ce rayon , et la rabattant de G en R", ce dernier point sera la position nouvelle de (R, R'), et les tangentes cherchées seront rabattues suivant R' P et R"Q.

Maintenant, voyons ce que deviennent les points de contact P etQ, lorsqu'on ramène ces tangentes dans le plan GOD'. La première R"P rencontrait la charnière OG en un point V qui restera immobile ; ainsi cette droite sera projetée horizontalement sur RV, et par suite sa projection verticale sera R'V; donc, en ramenant par une perpendiculaire à OG, le point P en X sur RV, puis en projetant X en À' sur R' V , on obtiendra la vraie situation du point de contact (X, X') du premier plan tangent à la sphère.

Quant à la tangente rabattue suivant R"Q, elle va couper ici la charnière OG à une distance trop considérable, pour qu'on puisse tirer parti de ce point immobile. Mais, pour y suppléer, j'observe que PQ représente le rabattement de la corde qui unirait les deux points de contact des plans tangents ; et comme cette corde rencontre la charnière OG au point (K, K'), elle a nécessairement pour projections KX et K'X'. Donc, en ramenant par une perpendiculaire à OG, le point Q en /jl sur KX, puis projetant |ul en (x' sur K'X', on obtiendra le point de contact (p., |m,') du second plan tangent à la sphère. On pourrait d'ailleurs s'appuyer aussi sur cette considération, que la corde (X|U!,, X'|ui') doit évidemment se trouver perpendiculaire au plan AOB' qui passerait par le centre de la sphère et par la droite donnée ( AB, A'B').

FiG. 89. PROBLEME 2. Par une droite donnée, mener un plan tangent à une surface de révolution, dont le méridien quelconque est connu. *' ciwii^i^Mf, ,

406. Soient (O, FZ') l'axe de révolution, (X'G'Y'D', GD) le méridien principal de la surface, et (AB, A'B) la droite par laquelle il faut conduire le plan

( * ) Ce grand cercle n'est autre chose que la courbe de contact de la sphère avec un cylindre circonscrit et parallèle à la droite (AB , A'B') : de sorte que pour tous les points de cette circonférence , les plans tangents de la sphère sont parallèles à la droite donnée.