CHAPITRE III. — PLANS TANGENTS MENÉS PAR UNE DROrTE

tangenl demandé. Nous emploierons ici la méthode générale indiquée aux n°* 595, 396, et conséquemment nous chercherons : mh >ti i .>.: -v,; , >«>,.,

I^I^ La courbe de contact (XKYRL, X'K'Y'R'L') de la surface^roposée avec un cône circonscrit dont le sommet (V, V) est pris à volonté sur la droite (AB, A'B'); cette courbe se construira par les moyens employés pour le problème du n° 3S6 , et nous avons eu soin de conserver ici les mêmes lettres qui avaient servi dans l'épure 84 , relative à ce problème isolé ; de sorte que les explications antérieures s'appliqueront littéralement à l'épure actuelle. -

2°. La courbe de contact {xtlyr, x't'L'y'r') de la surface proposée avec un cylindre circonscrit parallèlement à (AB,A'B'), laquelle courbe se construira aussi par les moyens employés pour résoudre le problème du n** 583 , sur l'épure 86 , dont les notations ont été conservées dans l'épure actuelle.

Maintenant , examinons si ces deux courbes de contact se coupent quelque part ; et pour trouver leurs points de section , gardons-nous de combiner, sur un même plan de projection, une branche pleine ou visible, avec une branche ponchiée ou invisible ; car de telles branches n'étant pas situées sur la même nappe de la surface, ne sauraient se rencontrer. Nous voyons ici que les courbes se coupent en deux points (X, X') et (/i., ju,'), dont les projections horizontales et verticales doivent d'ailleurs, pour chacun d'eux, être placées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre; alors, d'après les raisonnements développés aux n°* 395 et 596 , ce sont là les points de contact de la surface de révolution avec les plans tangents qui passeraient par (AB, A'B'); et une fois ces points connus, il sera bien facile de construire, par divers moyens, les traces de ces plans. Nous ferons seulement observer que les traces horizontales devront passer par le pied A de la droite, et être perpendiculaires aux projections OX et O^x, des normales relatives aux deux points de contact trouvés.

407. Cas particuliers. Si la droite donnée était verticale, il suffirait évidemment de mener par son pied deux tangentes à la projection horizontale de l'équateur. louo'it , i>[> yoioioui-uj

Si cette droite était' horizontale , on mènerait un plan méridien qtiî lui fût perpendiculaire , et du point où il la rencontrerait , on tirerait deux tangentes à la méridienne contenue dans ce plan ; opération facile à exécuter , quand on aurait rabattu ce point et la méridienne en question , sur le plan vertical , comme on l'a fait au n° 360 pour le point P" de l'épure 84.

408. Deuxième méthode. Lorsque la surface de révolution sera du second

2o4 LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... N EST PAS DONNÉ.

degré, il y aura beaucoup d'avantage à employer, comme au n° 395, deux cônes circonscrits dont on placera les sommets aux deux points où la droite donnée rencontrera le plan de l'équateur et le plan du méridien principal ; parce qu'alors, d'après le théorème démontré n° 555, chacune des courbes de contact sera projetée suivant une droite sur un des deux plans de projection; et il n'y aura à construire dans toute l'épure , quune seule courbe, ainsi que nous l'expliquerons en détail dans le problème analogue et plus général du n" 417.

409. Troisième méthode. En supposant encore que la surface de révolution soit du second degré, on pourra n'employer qu'un seul des deux cônes circonscrits dont nous venons de parler ; car , comme la courbe de contact sera (n° 555) tout entière dans un plan perpendiculaire au plan horizontal (ou au plan vertical), il suffira de mener à cette courbe deux tangentes par le point où son plan rencontrera la droite donnée (*). D'ailleurs on a vu (n" 574) combien il était facile de construire ces tangentes avec leurs points de contact, sans tracer la courbe du second degré en question, mais en connaissant seulement ses deux axes; or l'un de ceux-ci s'obtiendra immédiatement, en menant par le sommet du cône circonscrit deux tangentes à l'équateur (ou au méridien principal), et le second axe s'en déduira d'une manière bien facile à imaginer [voyez n° 418).

Nous engageons le lecteur à appliquer cette méthode à un ellipsoïde de révolution; mais ici, pour varier les exemples, nous allons en faire l'application à un hyperboloïde gauche de révolution , défini par sa génératrice rectiligne , et non par sa méridienne.

■j/TiHG.

PROBLEME 5. Par une droite donnée , mener un plan tangent à un hyperboloïde gauche de révolution.

F1G.90. ^10. Soient (O, O'O") l'axe vertical de la surface, et(ADB, A' D'A") la droite mobile qui, en tournant autour de cet axe, engendre (n° 140) l'hyperboloïde que nous supposons terminé aux deux sections horizontales A'B' et A"B", également éloignées du cercle de gorge. Nous n'exécuterons pas la représentation de la surface sur le plan vertical , puisque cela conduirait à tracer l'hyperbole méridienne dont nous voulons éviter l'emploi; mais sur le plan horizontal, nous regarderons la surface comme réellement projetée, et

(*) Cette marche est analogue à celle qui nous a servi pour la sphère, au n"401.