CHAPITRE III. — PLANS TANGENTS MENÉS PAR UNE DROITE. 2o

en conséquence nous ponctuerons les parties d^ lignes principales qui seront au-dessous de la nappe supérieure. ^>*Sr»h ^^.h'»^)! h^ -.

411. Maintenant, soit (aê, a'ê') la droite par laquelle il s agit de mener un plan tangent ; si du point ( V, V ) où elle perce le plan horizontal du cercle de gorge , on imagine un cône circonscrit dont deux des arêtes seront évidemment les tangentes VX et VY, ce cône touchera l'hyperboloïde suivant une courbe située tout entière (n° 355) dans le plan vertical XY, et qui, par conséquent, sera une hyperbole ayemt pour axe réel la corde XY. Donc, en menant deux tangentes à cette courbe par le point (R, R') où son plan va couper la droite (aVê, a' V'ê'), on obtiendra les points de contact des plans tangents à l'hyperboloïde.

412. Pour construire ces tangentes, il faut d'abord faire tourner autour de l'axe (O, O'O"), le plan vertical XY jusqu'à ce qu'il prenne la position xy parallèle au méridien principal, et alors le point (R, R') se transportera en {r^r'). Dans cette situation, l'hyperbole contenue dans le plan vertical yx est semblable à la méridienne principale de la surface , et a comme elle, pour projections de ses asymptotes, les droites A'D' et B'D'; de là, et au moyen de l'axe réel x'y\ on déduit aisément les deux foyers <p et ^j;. Cela posé, pour mener des tangentes à cette hyperbole parle point r' (*), je décris un arc de cercle avec la distance r'(p pour rayon, et un autre arc dont le centre soit en ip et le rayon égal à x'j'; puis, en tirant la droite r' l' par le milieu de l'arc çy, j'obtiens l'une des tangentes cherchées, et son point de contact /' sera déterminé par sa rencontre avec la droite \^y. De même , l'autre tangente sera la droite r 'm' menée par le milieu de l'arc (pâ , et la ligne ^i^â prolongée déterminera le point de contact m' de cette seconde tangente.

A présent, il ne reste plus qu'à projeter les points /' et m' en / et m sur xy, puis à ramener ces points sur le plan vertical primitif XY, en (X, X' ) et (/JL, ]ul'). Ce sont là les points de contact de l'hyperboïde avec les deux plans tangents menés par la droite (aê, a'ê'); et leurs traces aBaAj et aAjBg sont faciles à construire avec ces seules données.

415. Mais comme, dans l'hyperboloïde gauche, nous savons que chaque plan tangent doit renfermer deux génératrices rectilignes de la surface, les-

(*) Voyez, dans les Traités des secrion s coniques, la^ méthode ries anciens pour mener des tangentes à ces courbes. o^ô uvy,/ f; i

206 LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... n'eST PAS DONNÉ.

quelles se coupent au point de contact , on pourra mener par les points X et fiy quatre tangentes au cercle de gorge, savoir XA2, XBj, /^Ag, IU1B3, lesquelles fourniront par leurs rencontres avec la trace horizontale de la surface , quatre points appartenant aux traces des plans tangents. D'ailleurs les deux génératrices XAg , et P-B3 , faisant partie l'une du système (AD , A' D' ) , l'autre du système (BD, B'D'), iront nécessairement se couper (n° 144) en un point qui devra évidemment se trouver sur la droite (aê, a'ê'); et ce point (£,£') sera précisément celui où cette droite perce Chyperboloïde. Il y aurait aussi un second point de section qui serait fourni par la rencontre des génératrices XBj

et tXA^. <il ti',ir:

414. Observation, Si le point (V, V) où la droite donnée (aê, a'ê') perce le plan horizontal du cercle de gorge, se trouvait en dedans de ce cercle, on ne pourrait plus mener les tangentes VX, VY; et cela indiquerait que la courbe de contact de rhyperboloïde avec le cône circonscrit qui a son sommet en (V, V), change de position, et devient une hyperbole dont Yaxe réel est vertical , et dont le plan est toujours perpendiculaire à l'horizontale VO. Dans ce cas, on mènerait du point (V, V) deux tangentes à la méridienne située dans le plan VO , et la corde comprise entre leurs points de contact serait l'axe réel cherché ; ensuite, le reste des constructions s'effectuerait d'une manière analogue à ce qui a été fait dans le premier cas.

FiG. 90. 415. Jutre solution. Les remarques faites au n° 415, fournissent une méthode fort simple et applicable à toutes les positions de la droite donnée. En effet, si après avoir construit par le procédé du n° 284, les points d'intersection de la droite (aê, a'ê') avec Thyperboloïde, on mène par l'un d'eux (s, s'), des tangentes sAg, sBg, au cercle de gorge, ces génératrices combinées tour à tour avec (aê, a'ê'), détermineront immédiatement les deux plans tangents demandés, qui auront pour traces horizontales aAj et aBg. Quant aux points de contact , ils seront fournis par les deux autres génératrices partant des points B2 et A3 f).

416. Il résulte de là que, si la droite donnée ne coupait pas ï'hyperboloïde quelque part, il serait impossible de mener par cette droite un plan tangent à la surface^ condition qui est évidente à priori, puisque tout plan

(*) Une solution semblable peut être appliquée à l'hyperboloïde à une nappe et non de révolution. (Voyez n° S90.)