CHAPITRE III. — PLANS TANGENTS MENÉS PAR UNE DROITE

tangent devant renfermer ici deux génératrices qui se coupent, il y en aura au moins une qui rencontrera la droite (aê, a'è') située par hypothèse dans ce plan tangent. Seulement, ce point de rencontre s'éloignera à l'infini, dans le cas tout particulier où ces deux génératrices et la droite (aê, a.'^') se trouveront parallèles toutes trois ; mais alors la position du plan tangent n'en deviendra que plus facile à assigner, puisqu'il sera évidemment (u? ^80) tangent au cône asymptote. (Vôif tff^vlnp A%i6;*qîWîsl «itjdofioi , " m)

PROBLÈME 4. Par une droite donnéey mener un plan tangent à une surface QUELCONQUE du second degré. : m . v - r. . . ,, - .;,.....

417. Prenons pour exemple un ellipsoïde rapporté à deux plans de pro- Fig. 91. jection dont chacun soit parallèle à un plan principal de la surface ; celle-ci

aura pour contours apparents, les ellipses principales (ABDE, A'D') et (A'G'D'^F', AD) qui ont chacune deux axes communs avec l'ellipsoïde. Soit d'ailleurs (RS, R'S') la droite donnée; les points de contact des plans tangents menés par cette droite , seront fournis ( n° 595) par les intersections des courbes de contact de deux cônes circonscrits à l'ellipsoïde, et ayant leurs sommets situés où l'on voudra sur la droite donnée ; mais pour simplifier la construction de ces courbes, plaçons les sommets dé ces cônes aux points (V,V') et (v, î/), où la droite (RS, R'S') va rencontrer les plans des deux ellipses principales qui se trouvent parallèles aux plans de projection.

418. Alors, si l'on mène les tangentes Va' et W'à' à l'ellipse A' CD' F', les points a! el ù' appartiennent évidemment à la projection verticale de la courbe de contact du cône circonscrit (V, V');et cette courbe qui est plane (n°555), se trouvera projetée verticalement sur la droite cdù'. En effet, comme le sommet (V, V) est situé dans un plan vertical VAD qui divise l'ellipsoïde en deux parties exactement symétriques, il est certain que les points de la courbe de contact doivent être , deux à deux , sur des cordes perpendiculaires à ce plan principal ; donc aussi le plan de la courbe cherchée sera perpendiculaire au plan vertical VAD , et s'y projettera suivant la droite a' (?' qui réunit les deux points déjà trouvés.

Par les mêmes raisons, la droite (ac?, a'c?')est un axe de la courbe dans l'espace , et elle continue à jouir de cette propriété en projection horizontale , où elle fournit les deux sommets a et ^. La direction coê du second axe se déduit aise'ment de là; mais pour déterminer sa longueur, j'observe que ces deux axes sont proportionnels à ceux de la section faite dans l'ellipsoïde , par un plan diamétral O'a' parallèle à la courbe de contact y.' ^'. Si donc on pro-

2o8 LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... N EST PAS DONNÉ.

jette a' en a, et que Ton tire aê parallèle à aB, on obtiendra la longueur uS du second axe cherché ; et alors il sera bien facile de tracer l'ellipse aXêcî^Y qui , d'ailleurs , devra passer par les points X et Y que l'on déduit de la section X', et dans lesquels elle touchera évidemment le contour ABDE sur le plan horizontal.

419. Maintenant, le deuxième cône circonscrit dont le sommet est en (v, î/), touchera l'ellipsoïde suivant une courbe plane qui, par des raisons analogues à celles que nous avons citées plus haut, se trouvera projetée horizontalement sur la droite xj; puis, sans chercher la projection verticale de cette courbe , qui s'obtiendrait par des procédés semblables à ceux qui nous ont servi pour le premier cône, on peut tout de suite apercevoir les points de section 1 et (x des deux courbes de contact, sur le plan horizontal, et reporter ces points en X' et |x' sur a'â'. Alors nous avons pour chaque plan tangent demandé, son point de contact (X, X') ou (ju,, /x'), et une droite (RS, R'S') par laquelle il doit passer; de sorte qu'il est bien aisé de trouver ses traces , par des constructions dont l'épure actuelle présente seulement les résultats.

FiG. Q I . ^20. Autre méthode. On peut résoudre le problème précédent avec le seul cône circonscrit dont le sommet est en (V,V'); car tout plan tangent à ce cône, qui sera mené par la droite (RV, R'V'), satisfera évidemment à la question. On cherchera donc le point (R', R) où cette droite est coupée par le * plan de la base a'&'; puis, on tirera du point R deux tangentes à la courbe aY&X : et même, on doit observer qu'il est inutile de tracer l'ellipse aYâX, et qu'avec les deux demi-axes wa et wê, on sait construire les points de contact p, et X des tangentes Rjui et RX, comme nous l'avons déjà fait dans les n°* 574 et 412. Ainsi, les points (X, X') et (|ul, p.') seront ceux dans lesquels l'ellipsoïde sera touché par les plans t^angents conduits suivant la droite (RV, R'V'); et par conséquent ces deux plans se trouveront déterminés par une méthode . qui aura l'avantage de n'employer que la ligne droite et le cercle. 'i;

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