CHAPITRE IV

Des plans tangents parallèles à un plan donné.

421. Soit S la surface à laquelle on propose de mener un plan tangent qui soit parallèle à un plan donné P. Imaginons que dans ce dernier, on trace deux droites arbitraires A et B , puis que l'on détermine par les procédés indiqués au chapitre II , les courbes de contact X et Y de la surface S avec deux cylindres circonscrits, parallèles l'un à A et l'autre à B. Alors on sait (n° 578) que pour tous les points de la courbe X, les plans tangents de S se trouvent parallèles à A ; que pour, tous ceux de la courbe Y , les plans tangents sont parallèles à B; donc si les courbes X et Y se coupent, chaque intersection fournira un point pour lequel le plan tangent de la surface S se trouvera parallèle à la fois aux deux droites A et B, et conséquemment il sera paraUèle au plan donné P.

422. Il est bon d'observer que le problème précédent revient à celui-ci : mener à une surface S, une normale qui soit parallèle à une droite donnée D. En effet, si l'on construit un plan P perpendiculaire à la droite D, il suffira de trouver un plan tangent parallèle à P, et la normale relative au point de contact de ce plan tangent, sera évidemment parallèle à la ligne D. Cette recherche est nécessaire pour obtenir le point brillant d'une surface , éclairée par des rayons de lumière que l'on regarde comme parallèles entre eux.

423. Lorsque la surface S sera développable, le problème deviendra impossible en général, attendu que la condition d'être parallèle à une droite donnée, suffit (n° 579) pour déterminer complètement le plan tangent d'une pareille surface, et qu'ainsi l'on ne saurait exiger que ce plan soit parallèle à la fois à deux droites A et B, ou au plan P qui les contient.

424. Le mode de solution que nous avons indiqué au n° 421 est général, mais il entraînera souvent dans des opérations graphiques fort compliquées; c'est pourquoi il faudra chercher , dans chaque surface , à profiter des propriétés particulières qui pourront simplifier la solution, comme nous allons l'indiquer sur quelques exemples.

1°. Si la surface proposée est de révolution, auquel cas chaque plan tangent est perpendiculaire au plan méridien correspondant, on commencera par mener un plan méridien perpendiculaire au plan donné P, et qui cou-

2IO LIVRE V.— PLANS TANGENTS DONT LE POINT... n'eST PAS DONNÉ.

pera ce dernier suivant une droite que j'appelle c^; alors en tirant à la section méridienne ainsi obtenue, une tangente parallèle à cJ*, son point de contact sera évidemment celui d'un plan tangent qui se trouvera parallèle à P. Cette marche sera d'une application fort aisée pour une sphère , un ellipsoïde , un tore, etc.

2". S'il s'agit d'un hyperboloide de révolution à une nappe , lequel admet (n° 146) deux systèmes de génératrices rectilignes respectivement parallèles aux arêtes du cône asymptotique , on coupera ce cône par un plan mené du sommet, parallèlement à P. Ce plan sécant fournira deux arêtes a et a' parallèles à P, et l'on en déduira aisément les quatre génératrices correspondantes de rhyperboloïde , savoir A et B parallèles à a , puis A' et B' parallèles à a'. Alors en combinant les génératrices A et B', on obtiendra un plan évidemment parallèle à P , et qui touchera l'hyperboloïde dans le point où ces deux droites se coupent ; puis , on en trouvera un second qui remplira les mêmes conditions , en combinant ensemble les génératrices A' et B qui se coupent pareillement.

La même méthode s'appliquera à un hyperboloide à une nappe et non de révolution, attendu que cette surface admet aussi, comme nous le verrons au livre VII , deux systèmes de génératrices rectilignes parallèles aux arêtes d'un cône asymptotique (voyez n^ 581).