CHAPITRE V. —PLANS TANGENTS A PLUSIEURS SURFACES

chant évidemment les deux cylindres, sera nécessairement tangent aux surfaces S et T. Ou obtiendra donc ainsi une solution du problème proposé ; mais il y en aura une infinité d'autres ;i', rr",.... que l'on trouvera en répétant des constructions analogues pour divers plans P', P',.... choisis dans des directions différentes.

4-26. On peut lier entre elles toutes ces solutions , en construisant la surface développable qui est circonscrite à la fois aux deux surfaces S et T. Pour cela, imaginons que les points de contact m et n des courbes x et y avec leur tangente commune sur le plan P, ont été projetés sur les courbes X et Y en M et N; ce seront là les points dans lesquels le plan n touche les deux surfaces S et T; et si l'on construit semblablement les points de contact M' et N', M" et N",...

des plans tt', tt",..., la suite des droites MN, M'N', M"N", formera une

surface 1 qui touchera évidemment S et T le long des courbes MM'M"

et NN'N" ; mais j'ajoute que cette surface 1 sera développable. En effet, si

les points M et M' sont pris infiniment voisins , le plan tangent tt renfermera les éléments linéaires MM' et NN' , et dès lors les deux génératrices MN et M'N' seront bien situées dans un même plan, ce qui est le caractère distinctif des surfaces développables (n° 179). D'ailleurs, on peut regarder les droites infiniment voisines MN, M'N', M"N", comme les intersections consécutives des

plans rr, ;:', ;:",.••• (d° ^^2), ou tien comme l'enveloppe de l'espace parcouru par le plan tt lorsqu'il roule sur les surfaces S et T , en demeurant tangent à l'une et à l'autre (n° 184).

Cela posé, quand la surface 1 sera construite, tous les plans tangents qu'on lui mènera, toucheront pareillement S etT, et fourniront les diverses solutions du problème primitif.

427. La surface développable 1 circonscrite aux surfaces S et T, est nécessaire à considérer dans \a.[théorie des ombres; et elle présente ordinairement deux nappes distinctes, lesquelles proviennent de ce que les courbes x et j du n° 425, peuvent admettre une tangente commune extérieure, et une autre intérieure. Au surplus , ces généralités seront éclaircies par l'exemple fort simple des deux sphères que nous considérerons au n° 437.

428. Lorsqu'une des deux surfaces proposées , par exemple S , est elle-même développable , le problème de leur mener un plan tangent commun, n'est pas en général impossible; mais il n'admet plus une infinité de solutions, comme on doit le sentir en faisant rouler un plan tangent sur la surface S jusqu'à ce qu'il rencontre T. D'ailleurs, dans l'hypothèse actuelle, la courbe x i^lative au plan P (n" 425) se réduirait à une ou plusieurs lignes droites, auxquelles il

212 LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... n'EST PAS DONNÉ.

ne serait plus possible de mener une tangente commune avec la courbe y ; à moins que l'une de ces droites ne se trouvât d'elle-même tangente à cette courbe j, ce qui ne pourrait arriver que pour un certain nombre des plans P, P', P ",.•••; de sorte que le problème deviendrait déterminé, et la surface 2 se réduirait alors à un ou à plusieurs plans. Nous en verrons un exemple dans le n° 434.

429. Enfin, le problème n'admettrait en général aucune solution, si les surfaces données S et T étaient toutes deux développables , puisque les courbes X et j du n 425, devenant alors l'une et l'autre des lignes droites, sur tous les plans P, P', P",...., il ne serait plus possible de leur mener une tangente commune.

450. Lorsque les surfaces S et T ne sont développables ni l'une ni l'autre, on peut rendre déterminé le problème de leur mener un plan tangent commun , en assignant un point extérieur V par lequel devra passer le plan demandé. En effet, cela reviendra à conduire par ce point V, un plan tangent à la surface développable 1 qui est circonscrite (n° 426) aux surfaces S et T, et cette dernière question n'est susceptible que d'un nombre limité de solutions , comme nous l'avons vu n''* 549 et 5 SO. Pour les obtenir, il faudra généralement construire la section faite dans la surface 1 par un plan quelconque mené du point V; puis, tirer par ce point des tangentes à cette section; alors chacune de ces tangentes, jointe à la génératrice rectiligne qui passe par son point de contact , déterminera un plan tangent à la surface 1 , et par suite aux deux surfaces primitives S et T. On trouvera un exemple de ce genre au n° 457.

451. Trouver un plan qui touche en même temps trois surfaces données S, T, U.

lia marche générale pour résoudre ce problème, consiste à imaginer une surface développable 2 circonscrite à S et à T, puis une autre l^-, circonscrite à S et à U. Alors, en construisant (n° 426) les courbes de contact MM'.... et MaM'a- .. de ces deux surfaces 1 et l^ avec S, chaque point p. où se rencontreront ces courbes, sera tel que le plan tangent de S touchera évidemment les surfaces 2 et ^a à la fois, et par suite ce plan touchera aussi les surfaces T et U. Ce sera donc une solution du problème ; mais comme les opérations graphiques seront ordinairement fort compliquées, nous nous bornerons à en citer un exemple où les constructions deviennent très-simples (voyez n" 441).

Observons que quoique nous ayons dit (n° 429) qu'on ne pouvait pas généralement mener un plan tangent commun à deux surfaces développables, la