CHAPITRE V. — PLAINS TANGENTS A PLUSIEURS SURFACES

chose devient ici possible , parce que les deux surfaces 1 et 1^ offrent cela de particulier, qu'elles sont circonscrites à la même surface S.

432. Si une ou plusieurs des trois surfaces données étaient développables , le problème serait généralement impossible. En effet, si S est développable , les surfaces 1 et I2 du numéro précédent , se réduiront à des surfaces planes (n" 428) auxquelles il ne sera plus possible de mener un plan tangent commun; à moins que par des circonstances toutes particulières, deux <ie ces surfaces planes ne viennent à coïncider complètement.

433. On ne saurait proposer de trouver un plan qui touche à la fois quatre surfaces S, T, U, V, ou un plus grand nombre. Car, en imaginant les trois surfaces développables 2, ^2, 23, circonscrites aux groupes S et T, S et U, S et V, il n'arrivera pas en général, que les trois courbes suivant lesquelles la surface S sera touchée par 2, 2^, Ig , viennent se couper toutes en un même point ]UL, circonstance qui serait cependant nécessaire pour que le plan tangent de S en jUL, touchât en même temps 2, la, Ig, et par suite les autres surfaces proposées T, U, V.

PROBLÈME ir Construire un plan qui touche, à la fois, une sphère et un cône droit (*).

434. Faisons passer les deux plans de projection, par le centre O de la Fig. 92. sphère donnée qui a pour rayon OA , et dirigeons le plan horizontal perpendiculairement à l'axe du cône qui aura pour sommet (S, S'), et pour base le cercle du rayon SB. Le problème de mener un plan tangent commun à ces

deux surfaces, sera déterminé (n° 428), parce qu'ici l'une d'elles est développable; et pour le résoudre plus simplement que par la méthode générale, supposons que PQR' soit le plan cherché. Il touche le cône suivant une arête située dans un plan méridien SM perpendiculaire à PQ; de sorte que la distance de ce plan tangent au pied (S, F) de l'axe, est une droite égale à F G, et située dans le plan méridien SM ; mais si je transporte le plan PQR' parallèlement à lui-même, jusqu'à ce qu'il passe par le centre O de la sphère, il se sera rapproché du point (S, F) d'une quantité égale au rayon OA; et alors il deviendra tangent à un autre cône droit dont la génératrice T'F', parallèle à S'B', en sera éloignée de la distance OA. Or ce dernier cône est facile à con'^

(*) Ce problème est tiré de la Géométrie aescnptivc de M. Lefébure deFourcy

21 4 LIVRE T. — l'LAKS TANGEINTS DONT LE POINT... n'eST PAS DONNÉ.

struire, ainsi que son plan tangent conduit parle point O; donc, ensuite, il suffira de mener au cône primitif un plan langent parallèle à celui-ci.

D'après ces considérations, on prendra sur la perpendiculaire FG, un intervalle GH=OA; puis, en tirant par le point H la droite T'F' parallèle à S'B', on déterminera le cercle SF auquel on mènera, du point O, les deux tangentes ON et OL. Alors, en conduisant au cercle SB deux tangentes PQ et XY parallèles aux précédentes , on aura les traces horizontales de deux plans PQR' et XYZ', qui toucheront extérieurement les deux surfaces données : les traces verticales de ces plans sont bien faciles à trouver.

435. Il existe aussi des plans qui touchent ces surfaces intérieurement, c'està-dire en laissant l'une d'un côté , et l'autre du côté opposé. Pour les trouver , on verra sans peine qu'il faut augmenter la distance l'G, d'une quantité GA = OA; puis, tirer parallèlement à S'B', la droite t'f qui déterminera le cercle Sf auquel on mènera les tangentes On et O/. Alors, en conduisant au cercle SB deux tangentes pq et xy parallèles aux précédentes , ce seront les traces horizontales des deux plans tangents intérieurs.

456. Si l'on veut trouver pour un de ces quatre plans, par exemple PQR', son point de contact avec la sphère , on coupera cette surface par un plan OD perpendiculaire à PQ; et après avoir rabattu la section sur le grand cercle horizontal, on tirera la tangente D^ dont le point de contact ô, ramené en jU,, fournira la projection horizontale du point où la sphère est touchée par le plan PQR'. La projection verticale /ut,' se déduira aisément de là.

PROBLÈME 2. Par un point donné, mener un plan tangent à deux sphères.

FiG. 93. 437. Adoptons pour plan horizontal, celui qui passe par les centres O et O' des deux sphères et par le point donné A". Alors, sans recourir à un second plan de projection, nous pourrons mener aux deux grands cercles horizontaux la tangente commune MNA qui, en tournant autour de OO'A, engendrera une surface conique évidemment circonscrite aux deux sphères données. Ce cône AMP est ce que devient ici la surface développable 2 du n° 426, car il est bien ïenveloppe de toutes les positions que prendrait le plan vertical MNA tangent aux deux sphères , en roulant sur ces deux surfaces à la fois. Ainsi, puisque tout plan tangent à ce cône touchera les deux sphères, et que la réciproque est pareillement vraie, le problème primitif se réduit à mener du point donné A" un plan tangent au cône AMP. Pour cela , on sait qu'il faut tirer la droite AA", et du point où elle ira percer le plan du cercle vertical