CHAPITRE V. —PLANS TANGENTS A PLUSÏEURS SURFACES. 2l

MP, base du cône, tirer à ce cercle deux tangentes; opération qui s'effectuera aisément, en rabattant le cercle MP autour de son diamètre, comme on la vu au n° 401.

438. Il est plus simple de remarquer que le problème primitif se réduit à mener par la droite AA", un plan tangent à la sphère O; car ce plan touchera évidemment le cône AMP, et par suite, la sphère O' que ce cône circonscrit. Or, d'après ce qui a été dit au n°41)3, il suffit de tracer le nouveau cône A"M"F' circonscrit pareillement à la sphère O, et l'intersection des deux cercles verticaux MP et M"P", fera connaître immédiatement la projection horizontale (x du point de contact de la sphère avec le plan tangent demandé. La seconde projection de ce point, sur un plan vertical choisi à volonté, s'obtiendra aisément en rabattant le cercle MP autour de son diamètre , et par-là la position du plan tangent sera complètement déterminée ; mais nous laisserons au lecteur le soin d'effectuer ces opérations très-simples, qui conduiront évidemment à deux plans tangents extérieurs.

439. On peut trouver deux autres plans tangents intérieurs, en considérant le cône amp décrit par la tangente man commune aux deux grands cercles horizontaux, mais placée entre ces circonférences. Alors, par des considérations analogues aux précédentes, on verra qu'il suffit de mener par le point A", un plan tangent au cône amp; ou bien de mener par la droite a A" un plan tangent à la sphère O; de sorte que le point de contact X sera donné par l'intersection des deux cercles M"P" et mp.

440. Il n'est pas besoin d'avertir que les quatre solutions précédentes se réduiront à deux, ou n'existeront pas du tout, suivant la position qu'aura le point donné A" par rapport aux deux sphères, ou par rapport aux cônes circonscrits extérieur et intérieur. En outre, l'un de ces cônes ou tous les deux disparaîtront, si les sphères données se coupent, ou bien si l'une enveloppe l'autre.

PROBLÈME 3. Ttouver; un plan qui soit tangent à trois sphères données.

441. Adoptons encore pour le plan horizontal, celui qui passe par les Pig. q3. centres O, O', O" des trois sphères données; puis, remarquons que les surfaces développables 2 et 1^ (n° 431) qui doivent être circonscrites aux sphères

O et O', O et O", deviennent ici les deux cônes AMP et A"M"P". Alors, en traçant leurs courbes de contact avec la sphère O, lesquelles se réduisent aux deux cercles verticaux MP et M"P", les deux points de section qui sont projetés en fx, seront ceux où les plans tangents de la sphère O toucheront à la

2l6 LIVRE V. —PLANS TANGENTS DONT LE POINT... n'EST PAS DONNÉ.

fois le cône AMP et le cône A"M"P"; par conséquent, ces deux plans seront aussi tangents aux sphères O' et O", et ils les toucheront extérieurement.

442. Mais comme il existe deux autres cônes circonscrits intérieurement aux {groupes des sphères O et O', O et O", lesquels peuvent être combinés d'une manière analogue, soit entre eux, soit avec les cônes extérieurs, il en résultera généralement huit solutions pour le problème proposé, savoir :

Deux plans tangents extérieurs fournis par les cônes AMP et A"M"P", et dont les points de contact avec la sphère O, sont projetés en ^x;

Deux plans tangents intérieurs fournis par les cônes AMP et a"m"p" ; les points de contact avec la sphère O sont projetés en v ;

Deux plans tangents intérieurs fournis par les cônes amp et A"M"P"; leurs points de contact sont projetés en X;

Enfin, deux plans tangents intérieurs fournis par les cônes amp, a"m"p'\ et dont les points de contact sont projetés en tt.

445. Il est facile d'apercevoir que ces huit plans tangents se réduiront à quatre, si deux des sphères se coupent; quand une d'elles rencontrera les deux autres, il y aura au plus deux plans tangents communs; et il n'en existera aucun , lorsqu'une des trois sphères sera enveloppée par une autre. Mais , outre ces cas particuliers, la question sera impossible toutes les fois que les quatre cercles de contact MP, M'T", mp, m"p'\ ne se couperont pas; et le nombre de leurs points de section, indiquera toujours le nombre de solutions qu'admettra le problème proposé.

444. Nous n'avons point parlé des cônes N'A'Q' et n'a'q' dont chacun est circonscrit aux deux sphères O' et O". Néanmoins , il est évident que tout plan tangent aux trois sphères, devra aussi toucher le cône A' ou le cône a' ; de sorte que le système de ces deux surfaces coniques aurait pu être combiné , soit avec le système A et a, soit avec le système A" et a", pour résoudre le problème proposé. En outre , puisque chaque plan tangent aux trois sphères , touchera en même temps trois des cônes circonscrits , il passera par leurs sommets, lesquels se trouveront ainsi à la fois dans un plan tangent et dans le plan des trois centres des sphères; d'où l'on conclut que les sommets des trois cônes touchés par un même plan, seront toujours en Ligne droite. Aussi l'on voit, dans notre épure , que les sommets des six cônes circonscrits aux sphères , sont distribués trois à trois sur quatre droites AA"A', Aa'a'\ A!' a' a, A' a" a, dont la première renferme les trois sommets extérieurs, et chacune des autres, un sommet extérieur avec deux sommets intérieurs.

445. De là on peut déduire un théorème remarquable de la Géométrie plane.