Q'N'^QN, B'C'=BC

les divers points A', M, N', G', . . . ., donneront la transformée de l'hélice sur le développement du cylindre. Or il est aisé de prévoir que cette transformée A'MN'C... sera une ligne droite; car les ordonnées et les abscisses rectilignes de cette nouvelle ligne , ayant la même grandeur absolue que les ordonnées et les abscisses curvilignes de l'hélice, elles seront, comme ces dernières, dans un rapport constant; ce qui est le caractère exclusif de la ligne droite.

220 Tlivre VI. — questions diverses.

Gela posé , je dis que la droite A'MC est précisément la tangente au point M de riiélice primitive AMG. En effet, cette droite est d'abord située dans le plan tangent du cylindre, qui contient un élément superficiel LPpl de la surface ; et comme cet élément est resté immobile pendartt le développement de la surface, il en résulte que l'élément linéaire Mm se trouve commun à la courbe AMG et à la droite A'MG'; donc ces deux lignes sont bien tangentes l'une à l'autre.

' 449. D'après cela, pour obtenir dorénavant la tangente à l'hélice, il suffira de construire, dans le plan tangent du cylindre, un triangle rectangle MPA' qui ait pour hauteur l'ordonnée MP du point de contact, et pour base une droite A'P égale à l'abscisse AP rectifiée; l'hypoténuse de ce triangle sera la tangente demandée. G'est ce que l'on peut exprimer d'une manière abrégée , en disant que la soutangente A' P est égale à l'abscisse curviligne AP du point de contact; car cette règle fera connaître le pied A' de la tangente, et<}omme le point de contact M est connu , la position de la tangente sera complètement fixée.

D'ailleurs on voit que la tangente A' M ainsi déterminée , aura la même longueur que tare d'hélice AM; puisque l'une est la transformée de l'autre, d'après ce que nous avons dit au numéro précédent.

450. Observons ici que l'angle MA'P de la tangente avec le plan de la base du cylindre, sera donné par la formule

tang A ^,p — fc ,

or, comme ce dernier rapport est constant pour tous les points d'une même hélice (n''446), on en conclut que les diverses tangentes à cette courbe sont toutes également inclinées sur le plan de la base du cylindre; et par suite chacune de ces tangentes coupe la génératrice du cylindre sous un angle constant A'MPj résultat qui montre que la définition donnée au n° 165, rentre dans celle du n** 446.

FiG. qi, 451. Gonstruisons maintenant les projections d'une hélice, en prenant pour base du cylindre droit sur lequel cette courbe doit être tracée, un cercle ABGD dont nous adoptons le plan, pour plan horizontal de projection. Soient d'ailleurs (A, A') l'origine, et A' A" le pas de l'hélice; en partageant cet intervalle A' A" ou O'O" en un certain nombre de parties égales, par exemple seize, et divisant la circonférence ABGD pareillement en seize parties égales