CHAPITRE I. — HÉLICE, ET HÉLICOÏDE DKVELOPPABL^. 22i

AL, LM, MN,...., il suffira d'élever par ces points de division, des oidonnées verticales P'L', Q'M', R'N',... respectivement égales à -^, -j^, ^ ,.... de l'intervalle O'O", pour obtenir divers points de la projection verticale A'L'M'N'C'A" de l'hélice demandée (*). Quant à la projection horizontale de cette courbe , c'est évidemment la base ABGD du cylindre droit.

452. I.a tangente de l'hélice en un point quelconque (M, M'), s'obtiendra en prenant sur la tangente au point M de la base, une longueur MT égale à l'arc MA rectifié (n° 449); alors le point (T, T') sera le pied de la tangente cherchée, laquelle aura pour projection MT et M'T'.

455. D'après cela , on voit que si l'on construisait ainsi diverses tangentes à

l'hélice, les pieds de ces droites seraient tous situés sur une courbe ATGH

pour laquelle on aurait MT = MA, BG = BA, EH=EA,...; par conséquent cette courbe n'est autre chose que la développante du cercle ABGD (n°' 199, 201), et c'est aussi la trace horizontale de la surface lieu des tangentes à l'hé-

(*) Cette projection est une sinusoïde; car, si on la rapporte à deux axes B'X, B'Z, dont l'origine soit au point B', et que l'on compte les nbscisses curvilignes de l'hélice, sur la section circulaire faite dans le cylindre par le plan horizontal B' X , on aura pour un point quelconque (E, E'), les relations

E'F B'F = sinBE, gË "" '^ '

ou bien , en comptant les sinus dans le cercle dont le rayon est l'unité ,

jc =r R sin — , - = — - ; R' s 27rR'

et alors , par l'élimination de l'arc s, on trouve

j; ^ R sin ['^■t^ j 1

pour l'équation de la projection de l'hélice sur le plan des deux axes B'X et B'Z. En y joignant l'équation du cylindre

qui , combinée avec la précédente , conduit à

j= Rcos/aTT^j,

on aura les trois projections de l'hélice sur des plans rectangulaires dont l'origine serait au point (O, B').

lice, mrhce que Von nomme l'hélicoïde développable, et sur laquelle nous reviendrons tout à l'heure.

i'^^- 94- 454, Étant donnée une hélice (AMBGDA, A'M'C'A"C",....), mener à cette courbe une tangente qui soit parallèle à un plan donné U'VS.

Rappçlons-nous d'abord que toutes les tangentes à l'hélice font un angle constant avec la verticale (n°450), et qu'ainsi elles sont respectivement parallèles aux génératrices d'un cône de révolution, dont Taxe serait vertical, et dont le demi-angle au centre égalerait l'inclinaison commune des tangentes sur les arêtes du cylindre. Pour connaître cette inclinaison, je construis la tangente particulière au point (B, B'), parce qu'elle sera évidemment parallèle au plan vertical, et me fournira ainsi la vraie grandeur de l'angle cherché : je prends donc sur la tangente au cercle, une longueur BG égale à l'arc AB rectifié, et projetant le point G en G' sur la ligne de terre , j'obtiens la tangente (BG, B'G') relative au point (B, B'). Alors, en lui menant parle point (O, B') une parallèle (O^, B'G') , et faisant tourner cette dernière autour de la verticale O, je forme le cône droit en question , lequel a pour base le cercle du rayon Og. Maintenant, je coupe ce cône par un plan parallèle à U'VS, et mené par le sommet (O, B') : on sait comment obtenir (n° 23) la trace horizontale aie d'un pareil plan, qui donne pour ses intersections avec le cône, les deux génératrices Oa et Oê parallèles au plan S VU'; par conséquent, les tangentes à l'hélice qui jouiront de cette dernière propriété, s'obtiendront sur le plan horizontal, en menant au cercle la tangente MT parallèle à Oa, et la tangente EH parallèle à Oê. De là, on conclura leurs projections verticales, en prenant MT = MA et EH = EBA , ce qui fera connaître les pieds (T , T') et (H, H') des tangentes demandées , qui seront enfin (MT, M'T') et (EH, E'H'). 11 y en aurait d'ailleurs une infinité d'autres parallèles à celles-là, et relatives aux points M" et E", M'" et E'", des diverses spires de l'hélice indéfinie.

Observons aussi que l'on pouvait mener, sur le plan horizontal, une seconde tangente (xd parallèle à Oa; mais cette droite, considérée comme la projection d'une tangente à l'hélice, aurait son point de contact en [ij., [jJ); d'où l'on voit clairement que sa projection verticale ne serait plus parallèle à celle de la génératrice du cône projetée sur Oa; ainsi il faut rejeter la tangente /jl0. Une pareille ambiguïté se présenterait pour la génératrice Oê; mais elle se lèvera toujours, en exigeant que la tangente et la génératrice du cône soient parallèles sur les deux plans de projection à la fois.

4vf5. Si l'on demandait de mener à l'hélice une tangente qui fût parallèle à une droite donnée, le problème serait en général impossible , à moins que cette