CHAPITRE I. — HÉLICE, ET HÉLICOÏDE DÉVELOPPABLE

droite ne fît elie-même avec la verticale, un angle égal à linclinaison commune de toutes les tangentes de l'hélice sur les arêtes du cylindre ; mais si cette condition était remplie, alors il ne s'agirait que de mener au cercle ABGD , une tangente parallèle à la projection horizontale de la droite donnée, et l'on en déduirait, comme ci-dessus, la projection verticale de la tangente à l'hélice.

4-56. L'HÉLICOIDE développable est la surface engendrée par une droite FiG. 96. mobile ^et indéfinie , qui glisse sur une hélice, en lui demeurant constamment tangente. Nous appelons cet hélicoide développable, tant pour le distinguer d'un autre hélicoide qui est gauche et dont nous parlerons plus loin , que parce que la surface actuelle satisfait évidemment (n° 181) à la condition que deux génératrices infiniment voisines se trouvent dans un même plan. Pour représenter graphiquement cette surface, on pourrait tracer d'abord l'hélice

puis, construire ses tangentes aux divers points (A, A'), (ê, ê'), (y, y'), ;

mais il sera plus commode et plus exact de déterminer ces droites, en cherchant immédiatement leurs traces sur le plan horizontal de projection, et sur un autre plan horizontal a' A" l' élevé , au-dessus du premier , d'une quantité A' A' égale au pas de l'hélice ; parce qu'alors la projection verticale de cette hélice sera formée directement par les intersections successives de ces diverses génératrices, pourvu qu'elles soient assez multipliées. Or, déjà nous savons (n** 455) que les traces horizontales de ces droites sont situées sur la développante de cercle ABGDEF , que l'on construit en prenant sur les tangentes à

la base du cylindre , les distances

§B=êA, 7G = 7A, (^D=(^A,

Ensuite , pour avoir leurs traces sur le plan supérieur a'A", j'observe que la droite inconnue (Aa, A' a') qui sera tangente à l'hélice au point (A, A'), doit faire avec la verticale un angle déterminé ( n° 450) par la relation

tang A A'a' = - , ou bien x^ = -^ î or, comme on a pris A"A' = h^ il en résulte que A"a'==2 7rR, c'est-à-dire

que l'intervalle inconnu A!' a' ou Art doit être égal à la circonférence du rayon OA, ce qui permet de construire immédiatement la première génératrice (Aa, A'a') de Vhélicoïde. D'ailleurs, dans les diverses positions que prendra cette droite mobile , la portion comprise entre les plans horizontaux L'A' et a' A", conservera une longueur invariable , puisqu'elle aura toujours une inclinaison constante (n" 450) sur ces plans parallèles; il en sera évidemment de même pour les projections horizontales de ces portions de génératrices , qui demeureront égales en longueur à A«. Par conséquent, si à partir de la développante inférieure ABGDEF on porte sur les tangentes du cercle, les

longueurs

Aa,B6, Gc,D(i,Ee, F/,....,

toutes égales à la circonférence OA rectifiée; puis, si l'on projette les divers

points rt, 6, c, c/, e, sur le plan horizontal supérieur a' A", en même temps

que les extrémités inférieures A , B,G, D, E,.... sur la ligne de terre , on pourra construire immédiatement les projections verticales

des génératrices de l'hélicoïde ; et ces droites dessineront , par leurs intersections consécutives, l'hélice même A'ê'7'(?'£'X';r'A" à laquelle elles devaient être tangentes.

FiG. q6. 457. La courbe ahcdef..... qui est la projection horizontale de la trace de l'hélicoïde sur le plan supérieur a'A", se trouve nécessairement une développante du cercle OA, symétrique de la première ABGDE En effet, puisque

la droite Dc?^/ par exemple , est égale à la circonférence totale , et que la partie D<^ égale l'arc Ac5*, il faut bien que le reste ùd soit égal à l'arc c^XttA; ainsi cette spirale , située dans le plan supérieur a' A", viendra se terminer au point (A, A" ) , si l'on se borne, comme dans notre épure, à considérer une révolution unique de la génératrice mobile.

458. D'après cela, on peut aisément construire en relief Xb. surface que nous venons de décrire; car, en prenant deux plateaux sur lesquels on tracera les

deux spirales ABGDEF...., abcdef , et en les maintenant dans une situation

parallèle et symétrique, au moyen de tiges verticales, il suffira de tendre des fils qui réunissent les points correspondants A et a, B et 6, G et c, D et d,...; et l'ensemble de ces fils rectilignes représentera l'hélicoïde développable , dont [arête de rebroussement (n" 178) sera l'hélice figurée aussi par les intersections