CHAPITRE I. — HÉLICE, ET HÉLICOÏDE DÉVELOPPABLE

consécutives de ces mêmes fils. Si, d'ailleurs, on évide sur le plateau supérieur, l'intérieur de la circonférence OA, on apercevra très-sensiblement cette hélice en forme d'arête saillante; ce qui justifiera aux yeux du spectateur, la dénomination attribuée dans toutes les surfaces développables,.à la courbe formée par les intersections des génératrices, laquelle partage la surface en deux nappes distinctes, mais réunies par un rehruussement le long de cette courbe.

459. Pour manifester ici cette circonstance importante du rebroussement , FiG. 96. construisons la section faite dans l'hélicoide par un plan horizontal quelconque X'Y'. En projetant sur le plan inférieur, les points de rencontre de X'Y'

avec les projections verticales des génératrices, on obtiendra une spirale composée de deux branches XW/ et >.ZY, placées l'une sur la nappe supérieure formée par les portions de génératrice situées au-dessus de leurs points de contact avec l'hélice, et l'autre sur la nappe inférieure; et je dis que cette spirale est aussi une développante du cercle OA. En effet, si le plan X'Y' est mené, par exemple, par le milieu >/ de la hauteur A' A", il coupera toutes les génératrices en deux parties égales; de sorte que son point de section avec la droite (De/, D'à') sera tel que DW égalera la demi-circonférence A(?>.; mais puisque déjà la partie D^ = Ac?, il s'ensuivra que le reste â'W égalera l'arc (JX;

on trouvera de même que AX = Aâl , et pZ := pX, Donc la section XWXZY"

est bien une développante du cercle OA, laquelle a pour origine le point X; et la forme de cette spirale en ce point, manifeste clairement le rebroussement que présentent les deux nappes de la surface, lorsqu'elles s'approchent de l'hélice.

460. Voyons, maintenant, quelles seront les sections faites dans l'hélicoide par un cylindre FWZp concentrique avec celui qui contient l'hélice primitive.

Pour cela, prenons d'abord les points F, a, 0, où le cercle FWZp coupe

les portions inférieures des génératrices sur le plan horizontal, et rapportons ces points sur les projections verticales des mêmes droites; ensuite, faisons la même opération pour les points |, /j, W,.... où les portions supérieures des génératrices sont rencontrées par le cylindre proposé, et nous obtiendrons les deux courbes

(FaSZw, F'o'ô'Z'w') et (^yjWÇp, IVW'Çy),

situées l'une sur la nappe inférieure de l'hélicoide, l'autre sur la nappe supérieure, et qui seront aussi des hélices de même pas que l'hélice (Aêy<?, A'ê'y'(?'). En effet, les portions de génératrices (9F, <p'F'), (Xa, X'a'), (ttÔ, tt'Ô'),..,. sont toutes de même longueur, puisqu'elles sont projetées sur des droites

évidemment égales «pF = Xa = nO ,.... et que leur inclinaison sur le plan horizontal est constante. Donc, lorsque la droite finie ((pF, «p'F') parcourra l'hélice donnée, en lui demeurant tangente par son extrémité mobile (<p, <p'), l'autre extrémité (F, F') s élèvera de quantités égales aux différences de niveau des points ((p, 9'), (X,X'), (tt, 7:'),...; or ces différences sont proportionnelles aux arcs (pX, (pln^.... qui ont évidemment entre eux le même rapport que les arcs Fa, Faô,....; par conséquent ces derniers se trouveront eux-mêmes proportionnels aux ordonnées des points (a, a'), (S, ô' ),.••• et la courbe (Faô, F' a' Ô') sera bien une hélice dont le pas égalera celui de Thélice (Aêy, A'ê'7'), puisqu'au bout d'une révolution, les deux points (F, F') et (ip , (p') auront monté de la même quantité h.

On démontrera la même proposition, d'une manière analogue, pour la section (^-/^W, l'ïj'W).

FiG. q6. 461. Il est bon d'observer ici, comme une conséquence immédiate de ce qui précède, que quand une droite mobile et indéfinie {F(pJ <, F' (pj') glisse sur une hélice (Aêyc?...., A'ê'-y'd*'), en lui demeurant tangente joar un même point qui reste invariable sur la droite mobile, tout autre point (F, F') de cette dernière ligne décrit aussi (n" 460) une hélice de même pas que la première. Mais si la tangente row/aiï sur l'hélice, sans glisser, de telle sorte que chaque élément de la droite vînt s'appliquer successivement sur les éléments de la courbe, alors un point quelconque (F, F') de la droite mobile, resterait toujours dans un même plan horizontal, et y décrirait (n° 455) une développante du cercle qui sert de base à l'hélice primitive.

462. Le plan tangent pour un point quelconque ( $, Ô') de l'hélicoïde , est le même que dans tout autre point de la génératrice (PS/?, P'O'p'), ainsi que nous l'avons démontré (n*' 177) pour toute surface développable : donc le plan demandé renfermera la tangente PV à la spirale ABGLP , et cette droite sera précisément la trace horizontale de ce pian langent, lequel se trouve parla suffisamment déterminé. Observons d'ailleurs, que comme la hgne Pn tangente à la développée Aèln , est toujours normale (n° 197 ) à la développante ABGLP, il s'ensuit que la trace PV du plan tangent se trouvera perpendiculaire sur la génératrice (P7r,P'7i'), et qu ainsi ce plan renfermera le rayon (Ott, O't:') du cylindre. D'où l'on peut conclure que le plan tangent de l'héhcoide se trouve déterminé par la génératrice sur laquelle est le point donné, et par le rayon du cylindre qui aboutit au point de contact de cette génératrice avec l'arête de rebroussement.

463. Il résulte évidemment de là que tous les plans tangents de l'héhcoide