CHAPITRE I. — HÉUCE, ET IIÉLICOÏDE DÉVELOPPABLE^ IIl

Font, avec le plan horizontal, un angle constant qui égale l'inclinaison de la tangente à l'hélice primitive. D'ailleurs, chaque plan tangent tel que ;rPV, contenant deux génératrices infiniment voisines qui sont des tangentes à 1 hélice, n'est autre chose que le plan osculateur (n° 177) de cette courbe; et par suite, l'hélicoïde est l'enveloppe de tous les plans osculateurs de son arête de rebroussement , comme cela arrive dans toute surface développable (n° 181).

464. D'après cela, le contour apparent de rhélicoide sur le plan vertical de projection, est formé par les droites (L/, L'/'), (Aa, AW), (AU, A"U'), puisque le long de ces génératrices, le plan tangent se "trouve perpendiculaire au plan vertical : seulement, mie partie des deux dernières génératrices est recouverte par la première , et se trouve rendue invisible par cette circonstance. Quant au contour apparent sur le plan horizontal, il est formé évidemment par l'hélice (AêycJ^X, A'&y'â'l'), quoique le long de cette courbe les plans tangents de l'hélicoïde ne soient pas verticaux , ainsi que l'exigerait la règle générale du n*' 106; mais c'est qu'ici la surface présente, pour limite des parties visibles, la circonstance particulière d'un rebroussement. On doit ajouter à ce contour les spirales ABC GQR S et abclpqrA , qui terminent la portion de surface que nous nous sommes borné à considérer ici, avec le soin d'omettre la partie de la première qui est recouverte par la seconde ; et d'après ces remarques , il sera aisé au lecteur de se rendre compte des parties pleines et ponctuées que présente notre épure.

465. Développement de ihélicdide. On pourrait l'effectuer ici, comme dans FiG. 96. toute surface développable, en partageant une courbe plane ABGDGL située

sur la surface, en petits arcs sensiblement confondus avec leurs cordes; alors

les secteurs élémentaires projetés sur DcJ^G, Esc^D, FçsE, pourront être

regardés comme des triangles dont les côtés, connus par leurs projections, seront faciles à évaluer; de sorte que, si l'on construit ces triangles sur un même plan et à la suite les uns des autres , leur ensemble représentera le développement de la surface en question. Toutefois, il faut avouer que ce mode d'opérations donnerait lieu à des chances d'erreurs accumulées, qui disparaîtraient si l'on connaissait d'avance la forme que doit prendre, sur le développement, une certaine courbe donnée sur la surface primitive; et c'est ainsi que nous en avons usé pour les cylindres et les cônes, dans les n"»243et2Dl.

466. Or, dans l'hélicoïde développable, il arrive que toutes les hélices ont pour transformées, sur le développement, des cercles concentriques. En effet, si nous concevons l'hélice arête de rebroussement (Aêyc^..., A' &y' &'...), comme

partagée en éléments égaux projetés sur Aê, êy, yâ^..., il est facile d'apercevoir que tous les angles de contingence sont égaux entre eux dans cette ligne à double courbure; car celui qui est projeté sur DcJ^G, étant combiné avec la verticale <3*, formera un angle trièdre dans lequel deux faces et Tangle dièdre compris resteront les mêmes pour tous les points de l'hélice. Mais ces angles de contingence, qui changent ordinairement de grandeur pour une courbe quelconque tracée sur une surface que l'on développe , demeurent invariables quand il s'agit de l'arête ^e rebroussement (n" 179, note); donc l'hélice (Aêyc?...., A' ê' y' (?'...) se transformera dans une courbe plane, dont les angles de contingence seront égaux entre eux, pour des arcs de même longueur; par conséquent cette transformée aura une courbure uniforme (n° 198), et dès lors elle sera un cercle.

Maintenant, pour une autre hélice (Fa^Zw, F'a'ô'Z'w') située sur le même hélicoide, on obtiendra sa transformée en traçant, sur le développement, des tangentes au cercle dans lequel se sera changée l'hélice (Aêy..., A'ê'/...), et en prenant ces tangentes égales aux portions de génératrices (^F, 9' F'), (Xa, X'a'), (7i5, tt'Ô'),.... Or, comme ces dernières droites ont toutes la même longueur (n° 460), il arrivera évidemment que leurs extrémités aboutiront sur une circonférence concentrique avec la précédente : donc, etc.

FiG. 96. 467. Pour faire servir cette propriété des hélices au développement de l'hélicoïde sur un de ses plans tangents, nous choisirons le plan LL'X' qui est perpendiculaire au plan vertical, et qui renferme les deux droites (LX, L'X'), ((j^a, L'a') tangentes aux deux hélices projetées sur AêX et Fa9. Or, comme ces droites devront se retrouver tangentes aux deux cercles dans lesquels ces hélices se transformeront, il n'y aura qu'à rabattre ce plan autour de LL', avec les deux tangentes en question qui deviendront évidemment LX" et (|ia"; puis, élever sur ces dernières lignes les perpendiculaires X"0" et a"0", qui détermineront le centre O" et les rayons de ces deux transformées circulaires, ■

FiG. q6 Gela posé, sur \cijig. 97 et avec un rayon OgXa égal à la droite 0"X" de

et 97. la Jîg. 96, je décris une circonférence sur laquelle il faudra marquer des

arcs qui aient la même longueur que les arcs d'hélice projetés sur Aê, êy,

yc?, Or, puisque la demi-spire (AêyX, A'ê'y'X') est égale en longueur

(n° 449 j à sa tangente (LX, L'X'), nous tracerons la tangente XjLg égale à X'L'; et après avoir divisé cette droite X2L2 en huit parties égales, nous les reporterons sur la circonférence depuis X2 jusqu'en Aj et A3 ; alors l'arc de cercle A2X2A3 sera la transformée de la spire entière (AêyXA, A'ê'y'^'A"). Ensuite, nous