CHAPITRE I.— HÉLICE, ET HÉLICOÏDE' DÉVELOPPABLE

mènerons les tangentes êa^ai 72G2, «^aDav--- (\^^ nous ferons égales à i, 2, 3,... des divisions de XaLa ? ^^ ^^ seront les vraies longueurs des génératrices de Thélicoide, comprises depuis l'arête de rebroussement jusqu'au plan horizontal; de sorte que la nappe inférieure de cette surface se trouvera développée suivant la forme

dont le contour extérieur est évidemment la développante du cercle A2X2A3 , tandis que la circonférence Fjajôaroa sera la transformée de l'autre hélice (Faôw, F'a'^'w'). Quant au développement de la nappe supérieure de Ihélicoïde, on l'obtiendrait en prolongeant chaque génératrice Fg^a, de manière que sa longueur totale F2/2 égalât le double de L2X2.

4(>8. Nous aurions pu éviter de recourir à la seconde hélice (Faô, F'afO')^ pour trouver le rayon O2X2 = 0"X" du cercle suivant lequel se transforme l'hélice primitive (AêyX, A'êY^')» attendu que ce rayon doit être précisément le rayon de courbure (n° 198) de cette dernière hélice; car, dans le développement d'une surface développable , on sait (note du n° 179) que l'arête de rebroussement conserve les mêmes angles de contingence qu'auparavant, ainsi que des arcs de même longueur ; de sorte qu'elle garde la même courbure , mais seulement elle perd sa torsion, comme nous l'expliquerons plus en détail au n° 654. D'ailleurs, nous verrons au n° 676 que le rayon de courbure d'une hélice est donné par la formule

p = R(H-tang*w),

où w désigne l'angle de la tangente à l'héhce avec le plan de la base orthogonale du cylindre, et R le rayon de cette surface (*). Or cette expression est susceptible d'une construction fort simple; car, si par le point E' de la

(*) Si l'on veut trouver directement cette formule , on pourra employer le moyen suivant qui m'a été communiqué par M. Catalan, répétiteur à l'École Polytechnique. Soient MP et PQ (Jîg. ()8) les projections de deux éléments égaux de l'hélice, correspondants au point (P, P') pour lequel le plan osculateur contient (n° 465) le rayon du cylindre (PO, P'), et projette ces deux éléments sur la droite M'P'Q' qui fait l'angle w avec la base du cyUndre. Si l'on fait tourner ce plan osculateur autour île la droite (PO, P'j, jusqu'à ce qu'il devienne horizontal , les deux éléments seront rabattus suivant P/w et Vfj ; puis, en élevant des perpendiculaires

23o LIVRE VI. — QUESTIONS DIVERSES.

fig. 96, et parallèlement à la tangente L'X', on tire la droite ET sur laquelle on élèvera la perpendiculaire FK', la comparaison des triangles rectangles conduira aisément à la relation "î .

A'R'= A' E'. tang^ w = R tang=^ w ;

d'où il suit que le rayon de courbure de l'hélice est p = E'K'. C'est donc avec cette longueur, qui doit se trouver égale à 0">/', qu'il faudra décrire le cercle de lâfig- 97 ; et ensuite , les autres opérations graphiques s'effectueront comme précédemment.