CHAPITRE H. — DES ÉPICYCLOlDES

quer respectivement les uns sur les autres, dételle sorte que le point b arrive à coïncider avec B , ensuite c avec G , d avec D , et ainsi des autres. Gela équivaut à dire que le lieu du contact qui est actuellement en A et «, doit parcourir, dans le même temps, des espaces égaux sur les deux courbes à la fois; tandis que, si ces espaces étaient inégaux, et que le point b vînt à coïncider avec G, il y aurait à la fois roulement et glissement d'une courbe sur l'autre; et enfin, il n'y aurait qu'un simple glissement, sans aucune rotation, si c'était le même point a de la courbe mobile qui vînt coïncider successivement avec B, G, D,..i D'ailleurs, ces distinctions s'appliquent pareillement à des courbes gauches comme à celles qui seraient situées dans le même plan ou dans des plans différents, pourvu que la courbe mobile ait toujours une tangente commune avec la courbe fixe.

470. Pendant la rotation de la courbe xay , un point quelconque m , fixe sur cette ligne mobile et entraîné avec elle , décrira dans l'espace une autre courbe mz que nous allons apprendre à construire par divers exemples; mais , dans tous les cas, la tangente mt relative à une position quelconque, sera toujours perpendiculaire à la droite Am qui réunit le point générateur avec le point de contact correspondant. En effet , lorsque les deux courbes xj et XY se touchent en A, elles ont en cet endroit un élément commun AA'; or, pendant que les deux éléments ainsi confondus se détachent, et jusqu'à ce que les éléments voisins ab et AB soient parvenus à coïncider , le sommet A reste immobile, et le point générateur m décrit un arc mm' infiniment petit et situé évidemment sur la sphère du rayon Am. Donc , la tangente mt qui doit être le prolongement de cet élément mm\ sera bien perpendiculaire à la droite Am, laquelle se trouve ainsi normale à la courbe mm'z. D'ailleurs , on voit bien que ce raisonnement s'appliquerait de même à tout point n qui, sans être situé sur le périmètre de la courbe roulante xj, se trouverait lié fixement avec elle , et décrirait une autre courbe m< dont la normale serait encore An : donc, dans tous les cas, la droite qui joint le point de contact de la courbe roulante avec le point générateur, est une NORMALE à la courbe que décrit ce dernier point.

Si l'on voulait conserver à la démonstration précédente toute la rigueur de pjQ forme dont elle est susceptible , il faudrait d'abord substituer aux deux courbes xy et XY deux polygones (fig. 2) à côtés respectivement égaux; puis, en les faisant rouler l'un sur l'autre, de manière que leurs plans fissent entre eux un angle constant ou variable, le point m décrirait une ligne discontinue mm'm".... composée d'arcs sphériques qui auraient leurs centres successifs en A, B,G,...., et telle que la tangente mt au point m serait perpendiculaire sur Am. Or il est

évident que cette dernière propriété subsistera toujours, quelle que soit la grandeur des côtés et des angles des deux polygones : seulement, à mesure que les angles augmentent et que les côtés décroissent, les arcs mm', mW,.... diminuent de longueur et deux rayons consécutifs sont plus près d'être égaux , ce qui rapproche de plus en plus la ligne mm' m".... d'une courbe continue. Donc, puisque dans toutes ces variations l'angle kmt reste constamment droit, il en sera encore de même quand les deux polygones seront devenus deux courbes quelconques, par exemple deux cercles; ainsi, dans ce dernier état, la courbe continue décrite alors par le point m, aura pour tangente en m une droite perpendiculaire sur Am.

Épicycloïdes planes.

Pl. ^P), 471. Premier cas. Considérons un cercle mobile O' qui roule extérieure- FiG. 3. nient sur un cercle fixe O, en demeurant toujours dans le même plan que ce dernier, et adoptons pour point générateur le point de contact actuel D de ces deux circonférences. Lorsque le cercle O' aura roulé jusqu'à toucher l'autre en un point quelconque A^, on retrouvera la position correspondante M du point ^jénérateur D, en décrivant du point O'^ comme centre et avec le rayon O'D, une circonférence sur laquelle on prendra un arc A4M de même longueur absolue que l'arc A^D, ce qui s'effectuera en mesurant ce dernier au moyen d'une très-petite ouverture de compas. Mais ces opérations s'exécuteront avec plus de rapidité, si l'on a eu soin d'abord de diviser la circonférence mobile en parties égales, et de les reporter sur le cercle fixe suivant DA<, AjAj, A2A3,...; car alors il suffira de décrire deux arcs de cercle, l'un du centre 0'4 avec un rayon 0'4M = 0'D, l'autre du centre A4 avec un rayon A4M égal à la corde D4 du cercle primitif O'. Des constructions semblables effectuées pour d'autres points de contact A3 , A g,.... permettront de tracer aisément la courbe DMGF nommée épicycloïde extérieure, laquelle comprend une infinité de branches identiques à celle que nous venons de citer , et qui se rattachent les unes aux autres par des points de rebroussenient tels que D et F.

472. La tangente au point M de cette courbe, sera précisément la droite MT corde supplémentaire de MA4, puisque nous savons (n° 470) que cette dernière est normale à l'épicycloïde. Cette propriété fournit même un tracé beaucoup plus simple et bien suffisant pour les engrenages; car, si l'on décrit divers arcs de cercle ayant pour centres les points A,, A2, A3,.... et pour rayons les cordes Di, D2, D3,.... du cercle primitif O'; puis, si l'on trace une courbe