CHAPITRE II. — DES ÉPICYCLOÏDES

enveloppe de tous ces arcs, cette enveloppe sera précisément l'épicycloide DMGF, attendu que ces cordes indiquent évidemment (n" 470) les longueurs des normales telles que MA^ , qui aboutiraient aux points de contact successifs A,, Aj, Ag,...- du cercle mobile. C'est la méthode proposée par M Poncelet.

475. On pourrait adopter un point générateur D' situé hors du cercle mobile . mais lié avec celui-ci d'une manière invariable. Alors ce point D' décrirait une courbe à nœud D'M'G'.... que l'on nomme épicycloïde rallongée, et qui se construirait en prenant, sur chaque rayon O'^M déterminé comme au n*' 471, une distance MM' = DD'. La droite A^M' serait encore (n° 470) normale à cette courbe; ainsi la tangente M'T' devra être menée perpendiculairement à A4 M'.

Si le point générateur D" était en dedans du cerMe mobile, la courbe décrite alors serait une épicycloïde raccourcie D"M*G", laquelle offrirait des points d'inflexion au lieu d'un nœud. Un point quelconque M" de cette courbe s obtiendra aussi en prenant, sur le rayon 0'4M construit comme au n° 471 , une distance MM" = DD"; et puisque la droite A^M" sera encore (n° 470) normale à cette épicycloïde, la tangente M"T" s'en déduira immédiatement.

474. Deuxième cas. Lorsque le cercle mobile O' roule dans la concavité Pl. 45, du cercle fixe O , et que le premier a un rayon R' < |^R, le point générateur D *^^^- 4décrit une épicycloïde intérieure qui présente la forme DGF , et qui se construit du reste comme précédemment. Si l'on choisissait le rayon R' = -|-R, comme dans la Jîg. 5 , la courbe DMFD'F' aurait une forme et une équation toutes semblables à celles de la développée de l'ellipse (Jig. 76), avec la seule différence que les qpiatre points de rebroussement seraient ici placés à égale distance du centre (Voyez la note du n° 492).

475. Epicycloïde rectiligne. Ce cas très-particulier et fort utile pour les en- FiG. /\. grenages, se présente quand on choisit le rayon du cercle mobile R"=:|^R; car

alors l'épicycloïde décrite par un point du cercle O" se trouve confondue avec le diamètre D"OD qui passe par la position initiale D" du point générateur. En effet , si nous considérons le cercle mobile à une époque quelconque de sa rotation, où il touche le cercle O en A et oîi il coupe le diamètre D"0 en M , il suffira de prouver que les arcs AM et AD" sont égaux en grandeur absolue , puisque alors il sera certain que le point générateur placé d'abord en D", sera venu en M sur le diamètre D"0. Or l'angle AO"M est évidemment double de AOD"; donc les arcs AM et AD" sont aussi doubles Tun de l'autre, quant au nombre de degrés qu'ils contiennent : mais le premier de ces arcs appartient

à une circonférence qui n'est que la moitié de Vautre ; donc la longueur absolue de AM égale celle de AD".

Pl. 45 476. Troisième cas. Supposons maintenant que le cercle mobile O' qui

FiG. 6. j.yuie dans la concavité du cercle O , ait son rayon R' > |R; je dis qi^e 1 epicycloïde DGF décrite alors par le point générateur D , coïncidera avec celle que décrirait un troisième cercle O" qui aurait un rayon R" = R — R', et qui roulerait en sens contraire de O'. Pour le prouver, je considère le cercle mobile O' parvenu dans la situation quelconque O'j où le point générateur occupera une position M telle que l'arc AM = AD : je tire la droite MO'a, et sa parallèle OB; puis, j'achève le parallélogramme OO'aMO" qui me donne 0"B = 0"M =z;R — R', et je trace enfin le cercle O". Gela fait, il n'y a plus qu'à démontrer que les arcs BM et BD ont la même longueur absolue ; or les trois arcs BA, AM, MB, qui mesurent des angles évidemment égaux, doivent être proportionnels à leurs rayons, ce qui donne

; ; • BA AM BM

et puisque l'on a pris R" -h R' = R , il en résulte que BM -|- MA = BA : mais déjà l'on sait que l'arc AM = AD; donc il reste BM = BD.

Yjç^ 477. Quatrième cas. Enfin, supposons que le cercle mobile O' ait un

rayon R' >R, auquel cas il enveloppera le cercle fixe. Alors l'épicycloide décrite par le point générateur D, se retrouvera extérieure, et chaque branche DGF occupera sur le cercle fixe, un arc DEF égal à l'excès de la circonférence G' sur la circonférence O. D'ailleurs on démontrera aisément, comme au n*' 476, que cette épicycloïde DGF coïncide avec celle que décrirait un cercle O" tangent extérieurement au cercle O, et dont le rayon serait R" = R' — R.

FiG. 8. 478. Lorsqu'on suppose injini le rayon R du cercle fixe, ce cercle devient une droite DAF sur laquelle roule le cercle G'; et un point quelconque M de la circonférence de ce dernier, décrit alors la cycloïde DMGF dont la normale est encore MA et la tangente MT. La construction de cette courbe s'effectuera aisément par les moyens indiqués au n 471; d'ailleurs la cycloïde serait rallongée ou raccourcie, comme au n° 473, si le point générateur était placé au dehors ou au dedans du cercle mobile.

FiG. 9. 479. Au contraire, si c'est le cercle mobile qui acquiert un rayon infini, ce