CHAPITRE II. — DES ÉPICYCLOÏDES

•cercle deviendra une droite indéfinie DX qui, en roulant sur la circonférence O, décrira par chacun de ses points D, une spirale DM' M" M".... laquelle n'est auti'e chose que la développante du cercle O (n° 197). D'ailleurs, comme les normales M'A', M" A",.... sont précisément les rayons de courbure (n° 198) de cette spirale, si des points A', A", A'",.--, l'on décrit avec des rayons égaux à Y)n\ Drt", Da",.-.. des arcs de cercle, ces arcs se confondront dans une étendue assez considérable avec la spirale même, et ils fourniront un moyen très-exact et très-commode pour tracer cette courbe.

Épicycloïdes sphériques,

480. Considérons maintenant deux cercles OA et GA dont le second roule FiG. 99. sur le premier, en lui demeurant toujours tangent, mais de manière que leurs

plans fassent entre eux un angle constant CAX = w : pendant cette rotation , un point quelconque M, fixe sur la circonférence mobile et entraîné avec elle, décrira dans l'espace une courbe DM.... qui se nomme une épigycloïde sphérique, parce qu'elle est située tout entière sur la surface d'une sphère constante. En effet, si par les centres des deux cercles, on élève sur leurs plans les perpendiculaires OS et es, ces deux axes iront se rencontrer nécessairement dans chacune des positions du cercle mobile; car, pour chaque point de contact tel que A, les plans AOS et AGS se trouveront évidemment perpendiculaires à la tangente commune AV, et dès lors ils coïncideront. D'ailleurs, comme l'angle OAG est le supplément de GAX = w qui demeure constant pendant la rotation, il s'ensuit que le quadrilatère OAGS aura deux côtés et trois angles dont la grandeur restera invariable, et conséquemment il en sera de même pour les côtés OS et GS dont le point de rencontre S demeurera immobile; d'où il résulte que la distance de ce point S au point mobile M , sera constamment égale à SA, et qu'ainsi l'épicycloïde tout entière se trouvera située sur la sphère qui aurait SA pour rayon.

481. En outre, si l'on imagine deux cônes de révolution, ayant pour sommet commun le point S et pour bases les cercles OA et GA , il est évident que ces cônes auront un plan tangent commun SAV ; et par conséquent la génération de répicycloïde peut s'énoncer de la manière suivante : 51 deux cônes de révolution qui ont toujours même sommet et des génératrices de même longueur, roulent lun sur l'autre, sans glisser, et en demeurant tangents le long d'une génératrice variable, un point quelconque , fixe sur la base du cône mobde , décrira la courbe nommée épicycloide sphérique. En effet, on doit voir que par là les circonfé-

rences des deux bases seront toujours tangentes, et que leurs plans conserveront une inclinaison constante; et même c'est là le moyen le plus commode pour réaliser mécaniquement ces deux conditions , pendant le roulement du cercle mobile sur le cercle fixe.

FiG. loo. 482. Construisons la projection de lepicycloïde sur le plan de la base du cône fixe , en regardant ce dernier comme horizontal , et adoptons pour plan vertical celui qui passe par Taxe S'O de ce cône et par le point de contact A des deux bases, dans la position actuelle qui se rapporte à une époque quelconque du mouvement. D'après cela, les deux cônes seront projetés verticalement sur les triangles isocèles S'AE , S'AB', et la droite AB' représentera la projection verticale du cercle mobile qui, rabattu autour de la tangente commune AV, , ' deviendra le cercle Amb. Gela posé, soit D l'origine de lepicycloïde, c'est-àdire la position qu'occupait le point générateur , quand il se trouvait en contact avec le cercle fixe : maintenant que le cercle mobile a parcouru, en roulant sur l'autre , l'arc DA , le point générateur se trouvera placé sur le rabattement, à une distance curviligne Am égale en longueur absolue à l'arc AD (*). Donc , en relevant le cercle Amb autour de AV, et observant que le point (m, m') va décrire alors un arc m' M' qui, étant perpendiculaire à la charnière AV, se trouvera projeté sur la droite niM. parallèle à la ligne de terre, on obtiendra, un point (M, M' ) de l'épicycloïde demandée.

485. Pour en obtenir un second , il faudra imaginer que le cercle mobile a roulé jusqu'à venir toucher le cercle fixe en Ag , par exemple; alors, on pourrait recommencer sur le plan vertical OAg rabattu, des opérations semblables à celles que nous avons exécutées sur le plan vertical OA; mais il sera bien plus simple de ramener toutes les constructions à s'effectuer sur ce dernier. Pour cela , imaginons que les deux cônes , parvenus à se toucher le long de l'arête qui aboutit en A^, tournent simultanément et sans changer leurs positions rela-

(*) Pour tracer l'épure, il est bon de commencer par diviser le cercle mobile en parties égales, de mesurer une de ces parties au moyen de petites cordes ; puis, de transporter celles-ci sur le cercle fixe, ce qui donnera un arc égal à l'une des divisions du cercle mobile. Ensuite, on répétera cet arc du grand cercle , autant de fois qu'il y avait de divisions dans le cercle mobile, et l'on obtiendra 1 étendue DAF occupée par une branche de l'épicycloïde, sur le cercle fixe. Cependant, si le rapport des deux rayons OA et C'A était exprimé par un nombre assez simple , il serait plus exact de prendre d'abord sur le cercle fixe , un arc DAF égal à une fraction de cette circonférence, exprimée parce rapport; puis, on diviserait l'arc DAF en autant de parties égales qu'on en aurait marqué dans le cercle mobile.