CHAPITRE II. — DES ÉPICYCLOÏDES. v îtf

tives, autour de la verticale OS', jusqu'à ce que le rayon OA^ vienne coïncider avec l'ancienne ligne de terre OAX. Alors, le point générateur sera situé sur le cercle mobile rabattu , non plus en m , mais à une distance An égale à l'intervalle DAg compris entre l'origine D et le point de contact dans sa vraie position qui est Ag. De sorte que si l'on construit, comme ci-dessus, les projections N et N' du point rabattu n , il n'y aura plus qu'à ramener OA en OA^ , puis à trouver un point N" placé relativement à cette dernière droite, dans une situation toute semblable à celle de N par rapport à OA; ce qui s'exécutera au moyen du cercle décrit avec la distance ON , sur lequel on prendra l'arc I" N" égal à UN.

484. On agira de même pour toute autre position du point de contact des deux cercles ; et quand ce contact aura lieu au milieu K de l'arc DKF ^al à la circonférence du cercle mobile , on voit bien que le point générateur se trouvera rabattu en b qui se projette en B' et B ; si donc on ramène ce dernier point sur OK, au moyen d'un arc de cercle BG, on obtiendra le sommet G où la projection horizontale de l'épicycloïde s'écarte le plus du cercle fixe.

Observons enfin que les points D, M, N", transportés symétriquement au delà de OG , au moyen d'arcs de cercle, fourniront des points F, M'", N'*, qui appartiendront encore à l'épicycloïde, laquelle aura pour axe la droite OG, et admettra une infinité de branches identiques avec DGF.

485. Les constructions précédentes donnent aussi le moyen de tracer la projection verticale de l'épicycloïde, puisque M' appartient à cette projection; et quant au point ( N , N' ) qui a été transporté en N", sans changer de hauteur , on retrouverait bien aisément sa projection verticale dans cette dernière situation. Mais nous n'avons pas voulu effectuer ce tracé , dans la crainte de rendre l'épure un peu confuse, et surtout parce que nous regardons ici le plan vertical de projection , seulement comme un moyen d'exécuter nos opérations graphiques, et non comme existant réellement; attendu que sa présence aurait rendu invisibles une grande partie des lignes de l'épure. D'ailleui"s, l'épicycloïde est suffisamment déterminée par l'intersection du cylindre vertical DMGF , avec la sphère du rayon S'A qu'il est facile de représenter sur le plan horizontal.

486. De la tangente à l'épicycloïde. Puisque cette courbe est tout entière PiG. loo. (n" 480) sur la sphère fixe qui a pour centre le sommet S' et pour rayon l'apothème S'A, le plan tangent de cette sphère en (M, M') renfermera déjà la tangente demandée. Ensuite, comme nous avons démontré au n° 470 que la

droite (AM , AM') qui joint le point générateur avec le point de contact correspondant A, est une normale à l'épicycloïde, nous en pouvons conclure que la

tangente cherchée se trouve aussi dans un plan perpendiculaire à cette droite, lequel peut être regardé comme le plan tangent d'une sphère qui aurait son centre en A, et pour rayon la droite (AM, AM'); mais cette seconde sphère est variable de position et de grandeur, en passant d'un point à un autre de 1 epicycloïde, et elle ne fait que toucher cette courbe avec laquelle elle n'a de commun qu'un élément linéaire. D'après cela, le problème se réduit à chercher l'intersection du plan tangent à la sphère fixe avec le plan tangent à la sphère variable. 487. Pour y parvenir, coupons ces deux sphères par le plan B'AV qui contient la base du cône mobile. La section faite ainsi dans la sphère S'A, sera évidemment le cercle AB' lui-même : rabattons-le suivant Am6, et menons-lui la tangente mP qui, étant relevée, rencontrera le plan horizontal en P sur la charnière AV ; alors ce point P appartiendra à la trace horizontale du plan tangent de la sphère S'A, et cette trace sera la droite PT menée perpendiculairement sur la projection OM du rayon qui aboutit au point proposé (M, M'). Quant à la sphère variable dont le rayon est (AM, AM'), elle est coupée par le plan B'AV suivant un grand cercle qui, rabattu sur le plan horizontal autour de AV, deviendra le cercle décrit avec Am pour rayon. Menons-lui la tangente mQ (laquelle doit aboutir au pointa), et relevons cette droite avec son cercle, pour trouver sa trace horizontale Q sur la charnière AV ; dès-lors ce point Q appartiendra à la trace du plan tangent de la sphère variable, et cette trace s'obtiendra en menant QX perpendiculaire sur la projection AM du rayon correspondant. Cela posé, les traces QX et PT des deux plans tangents allant se couper au point T, la droite TM sera la projection horizontale de la tangente à répicycloide ; et la projection verticale T'M' s'en déduira, en projetant le point T sur la ligne de terre.

FiG. loo. 488. ^^utre méthode. On peut obtenir cette tangente d'une manière beaucoup plus simple, par le procédé du plan normal (n° 214), car ici nous connaissons immédiatement deux normales à l'épicycloïde : l'une est le rayon de la sphère constante, mené du sommet S' au point (M, M'); l'autre est la droite (MA, M'A), d'après ce que nous avons prouvé au n° 470. Par conséquent, si nous faisons passer un plan par ces deux normales, la tangente cherchée devra lui être perpendiculaire, et ses projections seront ainsi déterminées. Or, la première de ces normales va évidemment percer le plan vertical en S', et la seconde en A; donc S'A est la trace verticale du plan normal. Quant à l'autre trace, imaginons dans le plan normal, une droite auxiliaire parallèle à S'A; ses projections M'R', MR, donneront le point R où elle perce le plan horizontal, et par suite, AR sera la trace horizontale du plan normal. Dès lors, la tangente