CHAPITRE III. — SUR LES SPHÈRES ET LES PYRAMIDES

vantes :

On sentira aisément pourquoi il faut exclure toute combinaison où entreraient deux angles adjacents à la même arête, comme a et w; et d'ailleurs le nombre des solutions pourra devenir moindre , suivant les inclinaisons des quatre plans donnés. Cette question est analogue au problème de la géométrie plane, dans lequel on propose de trouver un cercle qui soit tangent à trois droites connues.

504. Construire un point dont on connaît les distances à trois points donnés, ou bien à trois plans connus, ou enfin à trois droites données.

1°. Désignons les points donnés par A, B, G, et leurs distances respectives au point inconnu x, par a, ê, 7. Alors , en imaginant une spbère qui ait son centre en A et pour rayon la distance a , le point x devra évidemment se trouver quelque part sur la surface de cette sphère ; il sera pareillement sur deux autres sphères qui auraient leurs centres en B, G , et pour rayons les longueurs ê , 7 ; par conséquent la question revient à trouver [intersection de trois sphères données, problème que nous avons résolu au n" 497.

2". Si Ton désigne à présent par P, P', P" les plans donnés, et par o\ &\ &", leurs distances au point inconnu x , ce dernier devra être à la fois dans trois plans p , p', p'\ respectivement parallèles à P, P', P ", et éloignés de ceuxci de quantités égales à ^, â', â'". Donc , en construisant les plans p, p\ p'\ d'après les méthodes du livre l®'^,^ question se réduira à trouver l'intersection de trois plans connus, problème que le lecteur saura aisément résoudre. Observons seulement que, comme le plan p, par exemple, pourra être mené à la distancée?, soit au-dessus, soit au-dessous de P, il y aura ainsi huit solutions pour la position du point demandé x.

3°. Soient enfin A, B, G, trois droites données, dont le point inconnu x est éloigné des quantités a, ê, 7. Si l'on imagine un cylindre de révolution qui ait pour axe la ligne A, et pour section droite un cercle du rayon a, cette surface cylindrique contiendra nécessairement le point .1. De même , ce point se trouvera aussi sur deux autres cylindres de révolution, qui auront pour axes et pour rayons B et ê, G et 7; par conséquent la question est réduite à trouver tous les points communs à ces trois cylindres. Or , en supposant que les traces horizontales de ces trois surfaces ont été construites comme nous allons lex-

pliquer plus bas , il n'y aura plus qu'à chercher, par la méthode du n° 288, la courbe d'intersection du cylindre A avec le cylindre B, puis celle des cylindres A et C; et ces deux courbes, qui pourront se couper au plus dans huit points, attendu que les trois surfaces sont évidemment du second degré, feront connaître par leurs rencontres les diverses positions que peut avoir le point demandé x. Toutefois , observons que pour obtenir les points vraiment communs aux deux courbes dans l'espace, il ne faudra prendre, parmi les sections des deux projections horizontales, que les points qui correspondront exactement à des sections sur le plan vertical; c'est-à-dire que ces points devront être deux à deux sur des perpendiculaires à la ligne de terre. D'ailleurs on pourra, comme vérification, construire aussi la courbe d'intersection des cylindres B et G, laquelle devra encore passer par les points communs aux deux premières courbes.

FiG. io5. 505. Quant à la manière de trouver la trace horizontale de chaque cylindre, représentons sur deux plans de projection, l'axe de l'un d'entre eux par (AF, A' F'). En faisant tourner cette droite autour de la verticale A , pour la rabattre parallèlement au plan vertical, elle deviendra (A/', Af); et alors la section circulaire du cylindre se projettera suivant une droite G' H' égale à 2a et perpendiculaire sur A 'f. Donc le contour apparent du cylindre sera fourni par les droites G'K', H'L', parallèles à A'f\ et la trace horizontale de cette surface dans la position actuelle , sera une ellipse ayant évidemment pour grand axe, la distance L'K'. Par conséquent, si l'on ramène les points K' et T/ en a et c/, la droite ad et sa perpendiculaire bAe = 2 a, seront les axes de l'ellipse suivant laquelle le cylindre primitif coupait le plan horizontal; de sorte que cette courbe sera maintenant facile à construire.

506. « Un ingénieur (*) parcourant un pays de montagnes , est muni d'une carte topographique sur laquelle sont marquées exactement les projections des différents points du terrain, ainsi que les cotes qui indiquent les hauteurs de ces points audessus d'une même surface de niveau. Il rencontre un point remarquable qui n'est pas marqué sur la carte, et il ne porte avec lui d^ autre instrument propre à mesurer les angles, quun graphomètre garni d\m fil-à-plomb . On demande que sans quitter la station, l'ingénieur construise sur la carte le point où il est, et qu'il trouve la cote qui convient à ce point, c est-à-dire sa hauteur au-dessus de la surface de niveau.

» Parmi les points du terrain marqués d'une manière précise sur la carte, et

(*) Cet article et le suivant sont extraits de la Géométrie descriptive de Monge.