CHAPITRE III. — SUR LES SPHÈRES ET LES PYRAMIDES

qui seront les plus voisins, l'ingénieur en distinguera trois, dont deux au moins ne soient pas à la même hauteur que lui; puis, il observera les angles formés par la verticale et les rayons visuels dirigés à ces trois points, et d'après cette seule observation, il pourra résoudre la question.

» En effet, nommons A, B, G, les trois points observés dont il a les projections horizontales sur la carte , et dont il pourra construire les projections verticales au moyen de leurs cotes. Puisqu'il connaît l'angle formé par la verticale et parle rayon visuel dirigé au point A, il connaît aussi l'angle formépar le même rayon avec la verticale élevée au point A; car en négligeant la courbure de la terre, ce qui est convenable ici, ces deux angles sont alternes-internes, et par conséquent égaux. Si donc il conçoit une surface conique à base circulaire, dont le sommet soit au point A, dont l'axe soit vertical, et dont l'angle formé par l'axe et par la droite génératrice soit égal à l'angle observé , ce qui détermine complètement cette surface, elle passera par le rayon visuel dirigé au point A, et conséquemment par le point de la station : ainsi, il aura une première surface courbe déterminée, sur laquelle se trouvera le point demandé. En raisonnant pour les deux autres points B, G, comme pour le premier, le point demandé se trouvera encore sur deux autres surfaces coniques à bases circulaires, dont les axes seront verticaux , dont les sommets seront aux points B, G , et pour chacune desquelles l'angle formé par l'axe avec la génératrice, sera égal à l'angle formé par la verticale avec le rayon visuel correspondant. Le point demandé sera donc en même temps sur trois surfaces coniques , déterminées de forme et de position, et par conséquent dans leur intersection commune. Il ne s'agit donc plus que de construire, d'après les données de la question, les projections horizontales et verticales des intersections de ces trois surfaces , considérées deux à deux (*); les intersections de ces projections donneront les projections horizontale et verticale du point demandé, et par conséquent la position de ce point sur la carte, et sa hauteur au-dessus ou au-dessous des points observés, ce qui déterminera sa cote.

» Gette solution doit en général produire huit points qui satisfont à la question ; mais il sera facile à l'observateur de distinguer parmi ces huit

(*) L'intersection de deux de ces cônes se construira par la méthode du n° 297 ; ou mieux encore, en les coupant par divers plans horizontaux; car les sections seront des cercles, dont les centres se projetteront au même point que le sommet , et dont les rayons se trouveront marqués sur le plan vertical.

2 5o LIVRE VI. — QUESTIONS DIVERSES.

points, celui qui coïncide avec le point de la station. D'abord, il pourra toujours s'assurer si le point de la station est au-dessus ou au-dessous du plan qui passe par les trois points observés : supposons que ce point soit au-dessus du plan des sommets des cônes, il sera autorisé à négliger les branches des intersections des surfaces coniques qui existent au-dessous de ce plan, et par-là le nombre des points possibles sera réduit à quatre : ce serait la même chose si le point de la station était au contraire place au-dessous du plan. Ensuite, parmi ces quatre points, s'ils existent tous, il reconnaîtra facilement celui dont la position par rapport aux trois sommets , est la même que celle du point de la station, par rapport aux points observés. »

507. « Les circonstances étant les mêmes que dans La question précédente, avec cette seule différence que [instrument n'est pas garni de fil-à-plomb , de manière que les angles avec la verticale ne puissent pas être mesurés, on demande encore que l'ingénieur, sans quitter la station, détermine sur la carte la position du point oii il est et qu'il trouve la cote de ce point, c est-à-dire son élévation audessus de la surface de. niveau à laquelle tous les points de la carte sont rapportés.

« Après avoir choisi trois points du terrain qui soient marqués d'une manière précise sur la carte , et tels que le point de station ne soit pas avec eux dans le même plan, Tingénieur mesurera les trois angles que forment entre eux les rayons visuels dirigés à ces trois points ; et au moyen de cette seule observation, il sera en état de résoudre la question.

» En effet, si nous nommons A, B, G, les trois points observés, et si on les suppose joints par les trois droites AB, BG, GA, l'ingénieur aura les projections horizontales de ces droites tracées sur la carte ; de plus , au moyen des cotes des trois points, il aura les différences de hauteur des extrémités de ces droites ; il pourra donc avoir la grandeur de chacune d'elles. Fi G. 106. " Gela posé, si dans un plan quelconque mené par AB, on conçoit un triangle rectangle BAD construit sur AB comme base, et dont l'angle en B soit le complément de l'angle sous lequel le côté AB a été observé, l'angle en D sera égal à l'angle observé , et la circonférence de cercle décrite par les trois points A, B, D, jouira de la propriété, que si d'un point quelconque de l'arc ADB on mène deux droites aux points A et B, l'angle qu'elles comprendront entre elles sera égal à l'angle observé. Si donc on conçoit que le plan du cercle tourne autour de AB comme charnière , l'arc ADB engendrera une surface de révolution dont tous les points jouiront de la même propriété ; c'est-à-dire que si d'un point quelconque de cette surface, on mène deux droites aux points A et B, ces droites formeront entre elles un angle égal à