CHAPITRE I.— NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES SURF. GAUCHES

ratrices n y sont pas. En outre, comme les tangentes LUT, MM'U, NN'V,....^ qui sont les prolongements de ces éléments linéaires , se trouveront ainsi dans des plans différents, il arrivera nécessairement que les plans tangents GLT, GMU , GNV, , relatifs aux divers points L , M , N , d'une même génératrice, seront distincts les uns des autres, quoiqu'ils renferment tous la génératrice GLMN.

512. Delà il résulte encore que, dans une surface gauche, chaque plan tel que GLT, quoique véritablement tangent en L, c'est-à-dire renfermant les tangentes à toutes les courbes tracées sur la surface par ce point, devient sécant dans tous les autres points qui lui sont communs avec elle ; et son intersection se composera d'abord de la génératrice GLM elle-même, puis d'une seconde branche passant par le point L , et qui peut être rectiligne ou curviligne, suivant la forme de la surface gauche en question.

515. Voyons, maintenant, de quelle manière nous pourrons réaliser la condition (n° 510) qui caractérise les surfaces gauches. Si nous assujettissons la droite mobile à glisser seulement sur une, ou même sur deux courbes directrices A et B, invariables de forme et de position, le mouvement de cette droite ne sera pas complètement déterminé; puisque pour chaque point L choisi à volonté sur A, la génératrice rectiligne pourra prendre une infinité de positions, situées toutes sur le cône qui aurait pour base B et pour sommet le point L. Deux courbes ne suffisent donc pas pour diriger le mouvement d une droite; à moins qu'on n'impose, en outre, la condition que la surface engendrée soit développable , comme on l'a vu n" 180; mais cette condition est précisément celle que nous voulons écarter ici.

Assujettissons donc la droite mobile à glisser constamment sur trois courbes F IG. 107. directrices A, B, C, et nous allons voir que ces conditions suffisent pour régler complètement le mouvement de cette génératrice. En effet, si l'on imagine deux cônes qui auraient pour sommet commun le point L pris à volonté sur A, et pour bases l'un la directrice B , l'autre la directrice G , on pourra aisément construire les traces de ces surfaces coniques sur un des plans de projection ; et en joignant les points de section de ces deux traces avec le sommet commun L, on obtiendra une ou plusieurs droites, mais en nombre fini, qui comme GLMN, s'appuieront évidemment sur les trois courbes A, B, C, puisqu'elles seront les intersections des deux cônes passant par B et par G. Ces droites seront donc les positions déterminées que doit prendre la génératrice mobile, lorsqu'en glissant sur A, elle arrive au point L; et pour d'au-

très points L', L",.-- on construira semblablement les positions de cette génératrice.

Au lieu d'employer deux surfaces coniques dont il faut chercher les traces , il sera souvent plus commode de construire l'intersection du premier cône LBM, avec le cylindre vertical qui projettera la directrice G sur le plan horizontal. Par-là, on obtiendra une courbe auxiliaire dont la rencontre avec la projection verticale de G, fera connaître le point qu'il faut joindre avec L, pour avoir une position de la génératrice. '"' —*^'

514. D'ailleurs, la surface ainsi engendrée sera gauche, en général; car, lorsque la droite mobile passera d'une position GLMN à une autre G'L'M'N' infiniment voisine, elle pourra être censée glisser sur les trois tangentes LT, MU , N V , qui ont avec les directrices les éléments communs LL', MM', NN' ; donc, si ces tangentes ne sont pas situées toutes trois dani un seul et même plan, les deux génératrices G et G' n'y seront pas non plus. Or, pour que ces tangentes se trouvassent dans un même plan, et surtout pour que la même circonstance se reproduisît à chaque système de points (L, M, N), (L', M', N'), (L", M", N"),.... situés trois à trois en ligne droite, il est clair qu'il faudrait faire un choix tout particulier dans la forme et la position des directrices A, B, G; par conséquent, en général, la surface décrite par une droite mobile qui s'appuie constamment sur trois courbes fixes, est gauche.

Mais une telle surface peut offrir une ligne singulière, le long de laquelle il existera un élément plan, indéfini en longueur; c'est ce qui arriverait dans le cas où, pour un certain point L, les deux cônes dont nous avons parlé au numéro précédent, auraient leurs traces tangentes l'une à l'autre. Alors, la génératrice menée de L à ce point de contact pourrait , sans quitter le point L , glisser sur la tangente commune aux deux traces, et elle décrirait ainsi un élément particulier qui serait plan. Gela revient à supposer que les deux tangentes MU et NV sont dans un même plan; et à plus forte raison en serait-il de même, si les trois tangentes en L, M, N se trouvaient dans un plan unique.

FiG. io8. 515. On peut encore assujettir la droite mobile G à glisser constamment sur deux courbes fixes A et B, en demeurant toujours parallèle à un plan donné P que l'on nomme le plan directeur. Pour construire ici les positions de la génératrice, il suffira de couper les courbes A et B (n° 253) par divers plans parallèles à P; et enjoignant par une droite les deux points de section de chaque

plan, on aura des lignes GLM, G'L'M', qui satisferont évidemment aux

conditions imposées à la génératrice. La surface heu de toutes ces droites ,