CHAPITRE I. — NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES SURF. GAUCI|ES

sera encore gauche en général, parce que les tangentes LL'T, MM'U, sur lesquelles s'appuie la droite G lorsqu'elle passe à la position infiniment voisine G', ne se trouveront pas ordinairement dans un même plan.

Au reste , ce genre de surfaces gauches rentre dans le précédent , lorsqu'on imagine que la troisième directrice G est située à l'infini , dans le plan P.

516. Dans toutes les surfaces réglées, on peut remplacer les courbes directrices par des surfaces directrices auxquelles la droite mobile devra être tangente. Par exemple, si l'on assigne une courbe A et une surface S pour diriger la génératrice , avec un plan P auquel cette droite mobile devra rester parallèle on mènera par chaque point L pris sur A, un plan parallèle à P, lequel coupera la surface S suivant une courbe à laquelle on conduira des tangentes partant de L; ce seront bien là des positions de la génératrice demandée, et la surface réglée ainsi produite, sera en général gauche. D'ailleurs, elle touchera

S tout le long de la courbe formée par les points de contact a, ê, y, des

tangentes dont nous venons de parler; car, pour la surface gauche comme pour la surface S, le plan tangent renfermera la génératrice rectiligne et la tangente de la courbe aêy qui est commune aux deux surfaces.

Si l'on donnait deux surfaces S et S' avec un plan directeur P, on couperait ces surfaces par divers plans parallèles à P, et l'on mènerait une tangente commune aux deux sections produites par chacun de ces plans sécants.

517. Lorsque la surface réglée n'admet point de plan directeur, on peut encore remplacer une ou plusieurs des trois courbes directrices A, B, G, par des surfaces auxquelles la génératrice devra être tangente. Supposons , en effet , que l'on assigne pour diriger le mouvement de cette droite, les courbes A et B avec une surface S; pour chaque point L pris sur A, il faudra construire deux cônes ayant leurs sommets communs en L, et dont l'un aurait pour base la courbe B, tandis que l'autre serait circonscrit à la surface S (n° 347) ; les intersections de ces deux cônes , qui seront nécessairement des droites , fourniront les positions de la génératrice lorsqu'elle passe par le point L. Quand la surface S se trouvera développable, il sera plus court de lui mener un plan tangent qui coupe les deux courbes A et B en des points que l'on réunira par une droite ; ce sera bien là une position de la génératrice.

Si l'on donne une seule courbe A avec deux surfaces directrices S et S', il faudra combiner ensemble deux cônes circonscrits l'un à S, l'autre à S', et dont le sommet commun serait en un point L de la ligne A.

518. Lorsqu'on assignera seulement trois surfaces S, S', S", auxquelles la droite mobile devra rester constamment tangente, la construction des diverses

positions de cette génératrice sera beaucoup plus laborieuse; mais on y parviendra en ramenant la question à l'un des cas précédents. En effet, si nous connaissions une droite G qui touchât la surface S en un certain point a, S' en a', et S" en a"; puis, que nous fissions glisser cette ligne Gaa'a" sur les deux surfaces S et S', en l'assujettissant d'ailleurs à demeurer parallèle à un plan directeur P, nous obtiendrions par la méthode du n° 516, une surface auxiliaire 2 qui couperait S" suivant une certaine courbe ol"^"Y passant par le point a", et à laquelle la droite G serait nécessairement tangente en ce point ; car G se trouve évidemment dans le plan tangent de S ", et dans celui qui touche la surface gauche 2 au point a.". Par conséquent, si l'on commence par construire la surface auxiliaire 2 qui a pour directrices S , S', et le plan P ; puis , si l'on détermine son intersection ol"^"Y avec la surface S", il n'y aura plus qu'à mener à la courbe a" §"7", une tangente qui soit parallèle au plan P , et cette tangente sera la position d'une génératrice G de la surface demandée qui a pour directrice S, S', S". Pour obtenir d'autres positions de cette génératrice , on fera varier la direction du plan P.

519. On peut encore diriger le mouvement de la droite qui engendre une surface réglée , en assignant deux courbes directrices A et B , avec la condition que la génératrice coupe l'une d'elles sous un angle constant et donné; ou bien, que la portion de cette génératrice comprise entre A e/ B , conserve une longueur fixe. On peut aussi faire glisser la droite mobile le long dune seule courbe A tracée sur une surface fixe S , à laquelle la génératrice devrait rester normale, etc. , etc. Mais toutes ces variétés de surfaces réglées, pour lesquelles il sera facile d'imaginer un mode de construction approprié aux conditions que chaque problème imposera, n'offrent pas assez d'intérêt pour que nous les discutions en détail; et d'ailleurs elles ne forment pas, au fond, des genres vraiment distincts, puisqu'on peut toujours les concevoir ramenées à celles du n" 5 1 5 , en adoptant pour directrices de la droite mobile , trois sections faites à volonté dans la surface.

520. Pour compléter ces notions générales, nous ajouterons que l'on donne le nom particulier de conoïdes, aux surfaces gauches qui admettent un plan directeur P avec deux directrices dont une est rectiligne : l'autre directrice peut être une courbe ou une surface. Le conoide serait dit droit , si la directrice rectiligne était perpendiculaire au plan P {voyez n° 596).

Lorsque les deux directrices sont l'une et l'autre des droites, le conoide prend le nom de paraboloide hyperbolique , ou de conoide du second degré, parce que c'est le seul dont l'équation ne s'élève pas au-dessus de cet ordre.