CHAPITRE II

De r fiyperboloïde à une nappe.

521. Nous appellerons ainsi, la surface particulière engendrée par une FiG. 109. droite mobile A qui s'appuie constamment sur trois droites fixes B, B', B", non parallèles à un plan unique, et dont deux quelconques ne se trouvent pas dans

un même plan; parce qu'il sera démontré plus loin (n° 535) que cette surface est identique avec celle que nous avons déjà désignée sous ce nom au n° 83. I^ construction des génératrices s'effectuera par le procédé général du n° 515, qui deviendra ici très-simple , puisque les surfaces coniques auxiliaires se réduiront à des plans : ainsi, après avoir pris un point arbitraire L sur la directrice B, on conduira par ce point deux plans dont l'un passe par B', et l'autre par B"; puis, en cherchant l'intersection de ces deux plans, on obtiendra une droite ALMN qui s'appuiera évidemment sur les trois directrices assignées. On arriverait au même résultat , en construisant l'intersection de la directrice B" avec le seul plan mené par L et la droite B', et en joignant ,ce point de section au point L. Ce procédé, appliqué successivement à d'autres points L' L",.... de la droite B, fournira les diverses génératrices A, A', A", A'",.... de l'hyperboloïde en question j et comme chacune ne peut évidemment occuper qu'une position unique, lorsqu'elle passe par un point donné L ou L', il s'ensuit que le mouvement de la droite mobile est complètement déterminé pai' la condition de s'appuyer sur les trois directrices assignées.

522. Cette surface est nécessairement gauche; car deux génératrices quelconques A et A ' ne pourraient se trouver daus un même plan , qu'autant que

les droites B, B', B", dont chacune a deux points communs avec A et A', seraient elles-mêmes situées dans ce plan unique ; ce qui est contraire aux conditions formellement imposées dans la définition du n° 321. D'ailleurs, ce raisonnement n'exigeant pas que les deux droites A et A' soient ici infiniment voisines, comme on le suppose pour une surface gauche générale (n° 510), il en résulte que dans l'hyperboloide, deux génératrices quelconques ne sont jamais dans un même plan.

FiG. I lo. 525. Si, parmi les trois directrices B, B', B", que Ion suppose n'être point parallèles à un plan unique, il y en avait deux qui fussent dans un même plan B'GB", la droite mobile A ne pourrait satisfaire aux conditions imposées, que des deux manières suivantes : i " en passant constamment par le point de section C et en glissant sur B , ce qui lui ferait décrire le plan GDB ; 2° en tournant dans le plan B'GB", autour du point D où il est rencontré parla droite B. Donc, alors, la surface décrite serait le système de deux plans qui se couperaient. Mais cette variété de l'hyperboloide, qui est analogue au cas d'une hyperbole réduite à ses asymptotes, ne présentant aucune recherche nouvelle, nous continuerons à exclure dorénavant l'hypothèse toute particulière que deux des directrices soient dans un même plan.

FiG. 109. 324. L'hyperboloide à une nappe jouit d'une propriété bien remarquable, et fort importante pour la détermination des plans tangents aux surfaces gauches générales : c'est qu'il admet un second mode de génération par la ligne droite, dans lequel les premières génératrices deviennent directrices, et réciproquement. G'est-à-dire que si l'on fait glisser une droite mobile sur trois quelconques des droites A, A', A", A'", que nous venons de construire , cette nouvelle génératrice qui coïncidera évidemment dans trois de ses positions , avec B , B ' et B", décrira une surface IDENTIQUE avec le premier hyperboloïde , tant pour la forme que pour la position. Mais avant de démontrer cette belle propriété , nous rappellerons deux théorèmes connus de la théorie des transversales.

FiG. III. 525. Lemme V\ Lorsque dans un triangle ABG, on mène une transversale quelconque PQR qui, en coupant les trois côtés ou leurs prolongements, forme six segments, le produit de trois segments non contigus est égal au produit des trois autressegments; ceat-k-dire c[ue Y on a

AP. GR . BQ = AQ . BR . GP. (x)

En effet, menons la droite BH parallèle à PQR, et nous aurons évidemment

les proportions