AQ CP.BR

CR ' puis, en égalant les deux valeurs de PH, on obtiendra la formule (x).

d26. Lemme II. Si dans un quadrilatère yauche ABGD, on trace deux droites FiG. 1 1 2 MN et PQ qui, en s'appuyant chacune sur deux côtés opposés, ou sur leurs *^* * ' ^• prolongements, se coupent elles-mêmes en un certain point O , le produit de quatre segments non contigus sera toujours égal au produit des quatre autres segments ; c'est-à-dire que l'on aura

AP. BN.GQ.DM = AM.DQ.CN.BP. {y)

D'abord , observons que si les deux transversales MN et PQ se coupent effectivement, elles doivent être dans un même plan, lequel contiendra les droites PN et MQ qui , par conséquent , iront se couper en un certain point R ; mais comme ces droites PN et MQ se trouvent, Tune dans le plan du triangle ABG, l'autre dans le plan du triangle ADG, et que ces plans se coupent suivant la diagonale AG, il faudra que le point de rencontre R des lignes PN et MQ, soit placé précisément sur cette diagonale. D'où il suit que pour obtenir, dans un quadrilatère gauche, deux transversales opposées qui se coupent réellement, on peut prendre à volonté l'une d'entre elles MN , et choisir arbitrairement le point P de la seconde; mais ensuite, on devra tracer la droite PNR qui ira couper la diagonale AG en un point R , puis tirer RM qui déterminera la position du point Q qu'il faudra joindre avec P.

Gela posé, les triangles ABG et ADG, coupés par les transversales PNR et MQR , donnent , d'après le lemme précédent ,

AP.BN.GR = AR.GN.BP, GQ . DM . AR = GR . DQ . AM ;

d'où, en multipliant ces égalités membre à membre, et supprimant les facteurs communs, on déduit la relation annoncée,

AP . BN . GQ . DM = AM . DQ . G N . BP ; ( j)

26o LIVRE Vil. — DES SURFACES GAUCHES.

laquelle peut s'écrire ainsi :