AP CQ AM CN

PB QD ~ MD * NB* ^^'

527. Réciproquement, si deux droites PQ et MN coupent les côtés opposés d'un quadrilatère gauche ABGD, de telle sorte que la formule (j) soit vérifiée , ces deux transversales sont dans un même plan. En effet , si cela n'était pas, on pourrait mener par le point P une droite PQ' qui couperait MN ; et alors on aurait

AP . BN . GQ'. DM = AM . DQ'. GN . BP ,

équation incompatible avec (j) que l'on suppose vérifiée, puisque si GQ' est plus grand que GQ, nécessairement DQ' sera moindre queDQ. FiG. 109. o28. Maintenant, revenons au double mode de génération que nous avons annoncé au n° 524 pour l'hyperboloïde à une nappe ; et prouvons que toute droite B"'DD'D"' qui s'appuiera sur trois génératrices quelconques A, A', A'" du premier mode, coupera nécessairement toutes les droites de ce système; par exemple, qu'elle rencontrera la génératrice A" en un certain point D". Il s'ensuivra évidemment que tous les points de cette ligne B '" se trouveront sur le premier hyperboloïde déjà construit avec les trois directrices fixes B, B', B", et qu'ainsi une de ces dernières peut décrire encore cette même surface , en glissant sur trois droites du système A.

Or, puisque d'après le premier mode de génération, les trois droites A, A', A" coupent B, B', B", le quadrilatère LNN'L ' donnera, en vertu de la formule (z) ,