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prouve que, dans ce cas, les trois droites A, A', A", seraient nécessairement aussi parallèles à un plan unique, mais différent du premier. Nous retrouverons plus loin cette conséquence, dans le paraboloïde hyperbolique (n** 555).

530. Du plan tangent. Puisque par chaque point de l'hyperboloide , il FiG. 109. passe deux droites (n° 528) l'une du système A, lautre du système B, et que ces lignes sont elles-mêmes leurs propres tangentes , elles devront se trouver toutes deux dans le plan tangent relatif au point où eUes se coupent, et par conséquent elles suffiront pour déterminer ce plan et pour trouver ses traces. Ainsi, lorsqu'on définira un hyperboloïde par les trois directrices B, B', B", et qu'on assignera le point de contact D sur une génératrice donnée A , il faudra construire (n° 521) au moins deux autres positions A', A" de cette génératrice; puis, en adoptant ces lignes A, A', A" pour directrices , on construira une droite DD'D"qui s'appuie sur ces dernières, et qui parte du point D. Alors cette droite DD'D" sera située sur l'hyperboloide, et en conduisant un plan par les deux lignes AD et DD'D", ce sera le plan tangent relatif au point D. Cette solution est trop simple , pour que nous croyions nécessaire de la construire dans une épure spéciale.

551. Lorsque les données d'un hyperboloïde seront assignées sur deux plans de projection, et qu'on citera seulement /a projection horizontale D, par exemple, dïm point de cette surface pour lequel on demandera le plan tangent, il ne sera plus possible de mener immédiatement la génératrice AD, avant d'avoir trouvé la projection verticale du point D. Pour cela il faudra en général, conduire par ce point un plan vertical quelconque : chercher Ja section qu'il produira dans la surface, ejn construisant les points de rencontre de ce plan sécant avec diverses génératrices qui s'appuieraient sur les droites données B, B', B"; et enfin projeter, sur cette section, le point D assigné sur le plan horizontal. Alors, connaissant les deux projections du point de contact, on pourra aussi construire les projections de la génératrice A qui passe par ce point, et l'on rentrera dans le cas du numéro précédent.

FjG. Il 4. 552. Du CENTRE de l' hyperboloïde. Cette surface est douée d'un centre, c'està-dire qu'il existe un point tel que toutes les cordes de la surface qui passent par ce point, sy trouvent divisées chacune en deux parties égales. Pour démontrer cette proposition, représentons par B, B', B", trois directrices primitives qui satisfassent aux conditions énoncées dans la définition du n'' 521 : nous pourrons alors, par les droites B' et B", conduire deux plans distincts B'DC et B"GD, ■ parallèles l'un et l'autre à la directrice B, et ces deux plans se couperont suivant une droite AGD évidemment parallèle à B; de sorte que cette ligne ACD sera une génératrice de l'hyperboloïde proposé, puisqu'elle s'appuiera sur B' et sur B", et qu'elle ira rencontrer B à une distance infinie. De même, en conduisant par B ' et par B , deux plans B'GH et BHG parallèles à B', ils se couperont suivant une droite A'GH qui sera encore une génératrice de l'hyperboloïde; et l'on en trouvera une troisième A"RE au moyen de deux plans BHF et B'DI parallèles à B", et menés par B et B'. De là nous conclurons d'abord que chaque génératrice dun système a sa parallèle dans le système opposé; car ce que nous avons dit ici de B, s'appliquera également à toute autre génératrice B'", B"",.... laquelle peut être prise pour directrice au lieu de B (n° 528). Ensuite, les six plans que nous avons construits ci- dessus, forment évidemment un parallélipipède qui a pour arêtes opposées les six droites B, B', B", et A, A', A"; et je dis que le centre O de ce parallélipipède , est aussi le centre de l'hyperboloiçle.

Pour le démontrer, je mène par un point M pris arbitrairement sur la directrice B, une droite M'MM" qui coupe les deux autres directrices en M' et M' , et qui sera ainsi une génératrice du système A; puis, je la compare avec une