DN = HM, GN'=EM', EN'=GM

et les trois points N, N', N", ainsi déterminés, se trouveront en ligne droite. En effet , en tirant les lignes OM et ON , les triangles OMH et OND qui sont visiblement égaux, prouveront que les côtés OM et ON sont égaux et en ligne droite ; la même conséquence aura lieu pour les lignes OM' et ON', OM " et ON", en vertu des triangles égaux que Ton aperçoit aisément. Ensuite, les triangles MOM' et NON' égaux par ce qui précède, entraîneront le parallélisme des côtés MM' et NN'; et enfin, MM" sera parallèle à NN" en vertu des triangles égaux MOM" et NON". Par conséquent les deux portions N'N et NN" ne formeront qu'une seule ligne droite , qui sera une génératrice du système B , parallèle à la génératrice M'MM ' choisie à volonté dans le système A; d'ailleurs, on voit par là que deux génératrices parallèles se trouvent toujours dans un plan passant par le point O , et sont également éloignées de ce point.

Cela posé, si par un point arbitraire P de la droite M 'MM ", on tire une corde POQ qui passe par le point O, elle ira nécessairement percer Thyperboloïde en un point Q situé sur N'NN", et d'après les relations ci-dessus établies, on aura évidemment OP = OQ; donc, puisque cette conséquence est vraie pour tout point P pris sur l'hyperboloïde, il demeure prouvé que le point O est bien le centre de cette surface (*).

(*) C'est M. /. £i net qui a fait connaître (Journal de l'École polytechnique , i6* cahier), parmi d'autres parallélipipédes concentriques avec l'hyperboloïde , ceux qui sont ainsi formes par trois génératrices quelconques d'un système , jointes à leurs parallèles dans le système opposé. Ce savant géomètre en a déduit beaucoup de conséquences intéressantes; mais ici nous ferons seulement observer, i°. que chacun de ces parallélipipédes est circonscrit à l'hyperboloïde, puisque chaque face renferme deux génératrices , et devient tangente dans le point où se coupent ces droites; 2°. qu'ils offrent une construction graphique fort élégante, pour trouver le centre de la surface gauche définie par trois directrices rectilignes ; 3°. qu'ils ne sont pas moins utiles sous le rapport analytique , puisqu'en adoptant ce centre pour origine des axes coordonnes , choisis parallèles aux trois directrices assignées , l'équation de la surface se présentera sou& la forme très-simple

xy Yz , xz

~ -^ ^-\- hi =0;

en effet, les axes actuels étant évidemment trois arêtes du cône asymptotique, il doit arriver que chaque plan coordonné coupe la surface suivant une hyperbole qui ait pour asymptotes les deux axes contenus dans ce plan.

553. Observons que, quand il s'agira seulement de construire ce centre, on l'obtiendra sans tracer le parallélipipède dont nous venons de parler, en cherchant l'intersection des trois plans menés par la droite donnée B et sa parallèle A, par B' et sa parallèle A', par B" et sa parallèle A" ; car chacun de ces plans diagonaux passe évidemment par le centre du parallélipipède, qui est celui de l'hyperboloïde. D'ailleurs , on peut dire que ce sont là trois plans asymptotiques de la surface , comme nous l'expliquerons au n° 546.

554. En résumant les propositions précédentes, on voit que dans l'hyperboloïde à une nappe, i°. il existe deux systèmes de génératrices rectilignes

A, A', A" A", et B, B', B", B"',.

dont chacune coupe toutes les droites du système opposé (n° 528) ; cependant, chaque génératrice A' a sa parallèle dans le système B (n° 552), et réciproquement; de sorte que pour ces droites comparées deux à deux, la rencontre n'a plus lieu qu'à une distance infinie.

2°. Deux génératrices du système A ne se trouvent jamais dans un plan unique (n° 522); il en est de même des génératrices du système B, puisque ces dernières s'appuient aussi (n° 528) sur trois droites du système A, lesquelles sont dans des plans différents.

3°. Trois droites quelconques du système A ne sont jamais parallèles à un même plan; car si cela avait lieu, il s'ensuivrait par le n° 529 que les directrices B, B', B" sur lesquelles s'appuient toutes les ^fénératrices du premier mode , seraient aussi parallèles toutes trois à un même plan , ce qui est contraire à la définition du n° 52 1 . Béciproquement trois quelconques des génératrices du système B ne se trouvent jamais parallèles à un même plan, car cela entraînerait aussi ( n" 529 ) une restriction semblable pour les droites du système A, sur lesquelles s'appuient ces génératrices du second mode.

4°- Le centre.de l'hyperboloïde est placé au centre du parallélipipède construit avec trois droites quelconques du système A, jointes aux trois génératrices du système B qui se trouvent respectivement parallèles aux trois premières (n° 552); ou plus simplement, il est donné par l'intersection de trois plans asymptotiques (n" 555). ' '

5". Une droite quelconque D ne saurait percer l'hyperboloïde en plus de deux points; car si elle avait trois points communs avec cette surface, la droite D s'appuierait sur trois génératrices de l'un ou de l'autre système, de sorte qu'elle coïnciderait tout entière avec la surface. D'ailleurs, pour obtenir ces points