CHAPITRE II. — HYPERBOLOÏDE A UNE NAPPE

d'intersection, il faudra construire, comme au n° 551, la section faite dans riiyperboloïde par un plan vertical ou horizontal , conduit suivant la droite D.

335. La surface gauche engendrée par une droite qui glisse sur trois autres droites fixes non parallèles à un même plan, est IDENTIQUE avec C hyperboloide à une nappe que nous avons décrit au n° 83. En effet , cette surface gauche est d'abord du second degré, puisque sans effectuer les calculs, il est aisé de voir que les conditions par lesquelles on exprimerait que la droite mobile a un point de commun avec chaque directrice , ne pourraient conduire qu'à une équation du second degré. Ensuite, cette surface gauche est douée d'un centre (n** 332); donc, comme elle ne saurait être évidemment ni un cône, ni un cylindre , qui sont développables , il faut qu'elle soit un ellipsoïde ou l'un des deux hyperboloides. Or, l'ellipsoïde est une surface limitée en tous sens (n° 81) qui ne saurait admettre pour génératrice une droite indéfinie; d'un autre côté, l'hyperboloïde du n 85 présente deux nappes séparées par un intervalle imaginaire, de sorte qu'une droite indéfinie et continue ne saurait évidemment s'appliquer tout entière sur cette surface ; par conséquent on est ramené à la proposition énoncée au commencement de cet article.

536. Pour manifester plus clairement l'identité dont il s'agit, et qui peut pa- Y\g. \ lo. raître assez étrange au premier coup d'œil, nous allons démontrer synthétiquement que l'hyperboloide décrit au n° 83 admet en effet deux systèmes de génératrices rectilignes. D'après la définition de cette surface , toutes les sections perpendiculaires à son axe imaginaire, sont des ellipses semblables : si donc nous la coupons par trois plans horizontaux e'a' ^ VX', V" X", dont le premier passe par le centre et dont les deux autres soient à égales distances, au-dessous et audessus de ce point, nous obtiendrons l'ellipse de gorge (abef, a'e') et deux autres ellipses égales, projetées horizontalement sur VUXY qui a ses axes parallèles et proportionnels à ceux de abef. Cela posé , en menant à cette dernière une tangente quelconque ADB, on sait que les parties AD et DB seront égales (*) ; si donc nous joignons le point (D, D') avec (A, A') et (B, ê'), nous obtiendrons deux droites (AD, A' D') et (DB, D'ê') qui seront nécessairement le prolongement Tune de l'autre , puisque ce sont les hypoténuses de deux triangles rectangles évidemment égaux , projetés sur D 'l'xV et D ' V^'. D'où il résulte que la droite totale (ADB, A'D'ê') a trois points de communs avec l'hyperboloide,

( * ) Cette proposition se démontre aisément, par la définition purement géométrique des diamètres conjugués et des courbes semblables.

FiG. 1 19,

et conséquemment elle est tout entière sur cette surface, attendu que celle-ci est du second degré. ii

Maintenant, projetons le point A sur l'ellipse supérieure en a', et le point B sur l'ellipse inférieure en B', puis joignons ces deux points dans l'espace avec (D, D'); nous obtiendrons encore deux droites (BD, B'D'), (DA, D'à'), dont on prouvera de même la coïncidence; de sorte que la droite totale (BDA, B'D'a') aura trois points de communs avec l'hyperboloïde, et par suite, elle sera située tout entière sur cette surface du second degré.

537. De là nous pouvons conclure que tout plan vertical ADB tangent à l'ellipse dégorge, coupe l'hyperboloïde suivant deux droites distinctes, qui se croisent en (D, D') sur cette gorge, et sont inclinées symétriquement de part et d'autre de la verticale D. Par conséquent cette surface peut être regardée comme produite par le mouvement de la génératrice (AD, A'D'), ou de la génératrice (BD, B'D'), assujettie à glisser constamment sur les trois ellipses semblables

(XYVU,X'V'), {abef,a'e'), (XYVU,X"V");

car on sait (n** 513) que ces conditions règlent complètement le mouvement d une ligne droite. liCS diverses positions de ces deux génératrices présenteront donc deux systèmes de droites indéfinies, situées toutes sur l'hyperboloïde, savoir :