CHAPITRE II. — HYPERBOLOÏDE A UNE NAPPE

plan, et la surface est GAUCHE. Considérons, en effet, les droites (AD, A'D') et (A4G, A'^G'); si elles se coupaient, leur point de section serait projeté horizontalement en M : mais, pour la première de ces droites, le point M étant au delà de D qui appartient à l'ellipse de gorge , devra se trouver sur la nappe supérieure en M"; tandis que pour la droite (A^G, A'^G'), le point M étant en deçà de G, appartiendra nécessairement à la nappe inférieure, et sera projeté en M'. Donc les droites proposées ne se coupent pas, et d'ailleurs il est bien évident qu'elles ne sauraient être parallèles.

On prouvera de même que deux génératrices du système B ne sont jamais dans un plan unique.

539. Au contraire, chaque génératrice (A^G, A'^G') du premier sy'stème, coupe toutes les droites du second, par exemple (BD , B^D'). Car le point M où se rencontrent les projections horizontales de ces deux droites, est placé, sur l'une et sur l'autre , en deçà des points G et D qui appartiennent à l'ellipse de gorge ; donc les deux points projetés en M sont sur la nappe inférieure de l'hyperboloïde; et par conséquent ils se projettent à la fois en M', puisque cette nappe ne peut évidemment être coupée par la verticale M qu'en un seul point. Obser- Tons, cependant, que quand on choisira une génératrice du système A et une du système B qui passeront par les extrémités d'un même diamètre de l'ellipse de gorge, ces deux droites se trouveront parallèles ; mais du moins elles seront encore dans un plan unique.

On démontrera de même que chaque génératrice du système B coupe toutes celles du système A, excepté une seule qui lui est parallèle.

540. Or, le mouvement d'une droite étant complètement déterminé (n*» 521) par la condition que cette ligne mobile s'appuie constamment sur trois droites fixes, il en résulte que si l'on fait glisser la génératrice (AD, A'D'), sur trois droites quelconques du système B , elle ne pourra prendre que les positions

Aj, A3 , A4 , qui toutes rencontrent ces trois directrices (n° 559); de même,

la génératrice (BD, B'D') en glissant sur trois droites du système A, viendra

coïncider nécessairement avec B2, B3, B4, Par conséquent, l'hyperboloïde

actuel nous offre bien toutes les propriétés que nous avons déjà reconnues dans la surface gauche du n° 521 ; et si les trois ellipses directrices étaient des cercles, on retomberait sur l'hyperboloïde de révolution dont nous avons parlé dans les n°» 140, 141,....

541. Du plan tangent. Lorsque l'hyperboloïde à une nappe est défini par les FiG. 1 uj. trois ellipses semblables citées n° 557 (courbes que l'on peut aisément construire, dès que les trois axes Oa = OV, 06, OV, de la surface sont assignés),

26cS LIVRE Vil. — DES SURFACES GAUCHES.

il est bien facile de trouver le plan tangent relatif à un point donné par sa projection horizontale M. En effet, si nous tirons par le point M une tangente AMB à l'ellipse de gorge, ce sera la projection de deux génératrices, représentées sur le plan vertical par A' D' et B' D' , et sur lesquelles il faudra projeter le point donné en M" ou en M'; de sorte qu'il y aura deux positions pour le point proposé. Considérons d'abord le point (M, M") situé sur la droite (ADM, A'D'M"): il y passe une seconde génératrice appartenant au système B, savoir (B^GM , B'^G'M"), laquelle s'obtient en tirant par le point M, la nouvelle tangente MGB4 à l'ellipse de gorge. Alors, l'ensemble de ces deux génératrices déterminera complètement (n" 530) le plan qui touchera rhyperboloide au point (M, M"), et les pieds de ces droites fourniront immédiatement la trace horizontale AB4P de ce plan tangent. Quant à sa trace verticale PQ", on l'obtiendra par le secours de l'horizontale (MQ, M"Q") menée parallèlement à AB4.

Pour l'autre point (M, M'), on combinera ensemble les deux génératrices (BMD, B'M'D') et (A^MG, A\M'G') qui s'y coupent; et la trace horizontale du plan tangent relatif à ce nouveau point , sera la droite A4B qui se trouvera évidemment parallèle à AB4. La trace verticale s'obtiendrait par le même moyen que précédemment.

542. Pour obtenir une symétrie convenable, dans la représentation de rhyperboloide au moyen de ses génératrices rectilignes, il est essentiel de choisir les cordes AB, A2B2, A3B3,.... sur le plan horizontal, de manière qu'elles reviennent tôt ou tard, aboutir deux à deux aux mêmes points de l'ellipse XYVU. Or, si cette courbe était un cercle, on sait(n° 150) que l'on remplirait cette condition en partageant la circonférence en un certain nombre départies égales, et en tirant des cordes qui soutendissent un nombre constant de ces arcs partiels ; d'ailleurs , ces cordes se trouveraient bien tangentes au cercle de gorge , qu'elles traceraient par leurs seules intersections successives. Si donc , en supposant cette construction effectuée pour le cercle décrit sur VX comme diamètre , on imagine qu'il tourne autour de VX , d'une certaine quantité angulaire propre à lui donner pour projection l'ellipse XYVU, il arrivera bien que les cordes primitives se projetteront sur d'autres cordes, qui viendront nécessairement aboutir , deux à deux , aux mêmes points de cette ellipse; et en outre, ces nouvelles cordes seront évidemment tangentes à l'ellipse intérieure suivant laquelle se projettera le cercle de gorge primitif. D'où je conclus qu'il faut choisir les points A, Aj, A3, de telle sorte qu'ils répondent aux ordonnées qui diviseront le cercle VX en arcs égaux; et tracer ensuite