CHAPITRE II. — HYPERBOLOÏDE A UNE NAPPE. v

dans Fellipse XYVU, des cordes AB, AaBj,.... qui soutendent un nombre constant de ces arcs d'ellipse, quoique ceux-ci ne soient plus de même longueur. Une fois que les génératrices seront ainsi déterminées sur le plan horizontal, on en conclura aisément les projections verticales, en projetant les extrémités A et B en A' et ê% et aussi en a' et B' , sur les deux parallèles V'X' et V"X". D'ailleurs, les intersections consécutives de toutes ces génératrices, si elles sont assez multipliées, suffiront pour dessiner par elles-mêmes le contour de l'ellipse de gorge sur le plan horizontal, et les deux branches de l'hyperbole parallèle au plan vertical.

545. Du CôiNE ASYMPTOTE de l'hjperboloïde. Si par le centre (O, O') de Fig. 119. cette dernière surface, on menait des droites respectivement parallèles aux diverses génératrices du système A, elles le seraient en même temps aux génératrices du système B, puisque chaque droite d'un système a sa parallèle dans l'autre (n° 552); et l'on formerait ainsi une surface conique qui serait asymptote de l'hyperboloïde proposé. Pour le prouver, cherchons d'abord quelle sera la trace horizontale de ce cône; en considérant l'arête quelconque Om et les deux génératrices DA et HR qui lui sont parallèles , ces trois droites seront dans un même plan passant par le diamètre horizontal (DOH, D'O'); donc la trace de ce plan sera une corde RA parallèle à DOH , et le milieu m de cette corde sera évidemment le pied de l'arête Om. En raisonnant de même pour une autre arête et pour les deux génératrices de l'hyperboloïde qui lui sont parallèles , on verra que la trace horizontale vmjx du cône en question , sera fournie par les milieux de toutes les cordes qui soutendront, comme RA, un nombre constant de divisions dans l'ellipse VYX; or, d'après ce que nous avons dit au numéro précédent, on sait que toutes ces cordes ont pour enveloppe, une ellipse qu'elles touchent en leurs milieux , et qui est semblable à VYX; donc la trace vmyx est effectivement une ellipse qui jouit de cette propriété , et dont le demi-grand axe Ov est égal à 6K.

Maintenant, le cône que nous venons de construire est asymptote de l'hyperboloïde ; car , en coupant ces deux surfaces par des plans horizontaux , les sections seraient des ellipses respectivement semblables à VYX et vyx , et qui , comme ces dernières , auraient pour différence de leurs demi-axes , une quantité variable Vi» égale à l'intervalle V'K' qui sépare l'hyperbole V'e'V" de son asymptote O'K'. Or, cet intervalle approche indéfiniment de zéro , à mesure que l'on s'abaisse davantage au-dessous du centre O' ; donc aussi, les deux sections faites dans l'hyperboloïde et dans le cône par un même

plan horizontal qui s éloigne de plus en plus du centre, seront des ellipses semblables qui approcheront indéfiniment de se confondre, quoique la première enveloppe toujours la seconde ; donc ces deux surfaces sont bien asymptotes l'une de l'autre.

FiG. 109. 544. Des sections planes de l' hyper boloïde. Pour obtenir l'intersection de cette surface par un plan donné 71, il suffit de chercher les points dans

lesquels ce plan va couper les diverses génératrices A, A', A", que l'on

sait construire (n" 521) d'après la connaissance des trois directrices B, B', B" ; puis , de réunir tous ces points par un trait continu. La tangente à cette courbe sera donnée par l'intersection du plan n avec le plan tangent de l'hyperboloïde pour le point en question, plan que nous avons enseigné à construire (n° 530).

545. Dans le cas particulier où le plan donné n passerait par une génératrice A du premier système , la seconde branche d'intersection serait nécessairement rectiligne, puisque la surface est du second degré ; et cette droite qui appartiendrait au système B, s'obtiendrait en cherchant seulement les deux points où le plan tt coupe deux génératrices A' et A" du premier système. D'ailleurs, ce plan n serait tangent à la surface dans le point de rencontre des deux génératrices qu'il renfermerait.

546. Ijorsque ces deux génératrices se trouveront parallèles entre elles , le plan n devra être considéré comme asymptote de l'hyperboloïde, ou tangent dans le point infiniment éloigné où concourraient ces deux droites; alors le plan n passerait nécessairement par le centre (n° 535) de la surface, et serait tangent au cône asymptote , comme on l'a vu (n° 543) pour les génératrices DA et HB de la fig. 1 19. Ainsi, tout plan tangent au cône asymptote coupe l'hyperboloïde suivant deux droites parallèles à l'arête de contact de ce plan avec le cône.

547. Pour reconnaître d'avance la nature de la section produite par un plan donné n , il faudra examiner s'il existe quelque génératrice parallèle au plan sécant; parce qu'alors la section admettrait une ou deux branches infinies. A cet effet , on construira la trace du cône asymptote sur le plan horizontal, en menant par le centre O de l'hyperboloïde, déterminé comme au n° 553 ( ou même , par un point quelconque de l'espace ) , des parallèles

à un nombre suffisant de génératrices A, A', A", ; puis, on conduira par le

sommet de ce cône un plan ;:' parallèle à tt, et alors il pourra se présenter trois cas distincts.