CHAPITRE II. — HYPERBOLOÏDE A UNE NAPPE

1°. Si la trace horizontale du plan n' ne rencontre pas la base du cône asymptote , il n'existera sur ce cône aucune arête parallèle à tt ; et il en sera de même des génératrices de rhyperboloide , qui sont ( n° 545 ) respectivement parallèles à ces arêtes. Donc, dans ce cas, la courbe de section n'aura aucun point situé à l'infini, et elle sera une ellipse.

2°. Si la trace horizontale du plan ;:' coupe en deux points la base du cône asymptote, il y aura sur ce cône deux arêtes a et a' parallèles au plan n , et aussi dans l'hyperboloïde , deux génératrices de chaque mode (a et 6, a' et 6') qui rempliront cette condition; par conséquent la section faite parle plan rr, admettra deux branches infinies, et sera une hyperbole. Pour en trouver les asymptotes, on mènera le plan P qui touche le cône asymptote (*) le long de l'arête a; et comme ce plan renfermerait (n° 546) les deux génératrices a et 6 qui , sur l'hyperboloïde , seraient parallèles à a , il est tangent à cette surface pour le point infiniment éloigné où a et 6 iraient rencontrer le plan sécant n : donc l'intersection des plans P et 7: donnera l'asymptote de cette branche. L'autre asymptote sera fournie par l'intersection du plan 71 avec le plan P' qui touchera le cône asymptote suivant l'arête a'; car c'est dans ce plan P' que seraient contenues les deux génératrices a' et h' qui sont parallèles à a'.

3°. Si le plan n' mené par le sommet du cône asymptote, touche ce cône suivant une arête unique a, il n'y aura sur l'hyperboloïde qu'une seule généra trice (<2 et 6) de chaque système, qui soit parallèle à a : donc alors la section faite parle plan n n'aura qu'une branche infinie, et sera une parabole. D'ailleurs, elle n'admettra pas d'asymptote; car c'est le plan n' lui-même qui, touchant le cône asymptote, renfermerait ( n° 546) les deux génératrices a et b parallèles à a : donc ce plan est tangent à l'hyperboloïde pour le point infiniment éloigné de la courbe; mais comme il se trouve ici parallèle au plan sécant n , leur intersection qui serait l'asymptote , se transporte tout entière à l'infini et n'existe plus.

548. Par les constructions précédentes , on saura résoudre le problème suivant, quand il sera possible : trouver sur un hjperboloïde donné, une génératrice qui soit parallèle à un plan connu n. Car , en menant par le sommet du cône asymptote, le plan ;:' parallèle à tt, si le plan n' coupe ce cône suivant

(*) Il faut, ici, que ce cône ait été construit de manière que son sommet soit précisément au centre O de l'hyperboloïde, que l'on sait trouver par le n" 553.

une ou deux arêtes a et a', les plans tangents au même cône le long de ces arêtes, donneront par leurs intersections avec l'hyperboloïde, les génératrices a et h parallèles à a , et les génératrices a' et b' parallèles à a', lesquelles satisferont toutes quatre à la question proposée.

J' CHAPITRE m.

Du paraboloïde hyperbolique.

FiG. II 5. 549. Nous appellerons ainsi la surface engendrée par une droite mobile A, qui glisse sur deux droites fixes B et B' non situées dans un même plan, et qui demeure en outre constamment parallèle à un plan donné P, que l'on nomme le plan directeur; car il sera démontré plus loin ( n° 558 ) , que cette surface est identique avec celle que nous avons déjà désignée sous ce nom au n° 89. Pour construire les diverses positions de la génératrice , il suffira de mener par chaque point M pris à volonté sur la directrice B , un plan parallèle àP; puis, de chercher le point N où ce plan ira couper l'autre directrice B', et de joindre ces deux points par une droite AMN. On "voit ainsi que les conditions précédentes règlent complètement le mouvement de la droite mobile, puisque pour chaque point M, elle ne peut prendre qu'une position unique.

550. Le paraboloïde hyperbolique est une surface gauche; car deux génératrices quelconques A et A', même quand elles ne sont pas infiniment voisines , ne pourraient se trouver contenues dans un plan unique , qu'autant que les directrices B et B' , qui ont chacune deux points communs avec les premières, seraient elles-mêmes situées dans ce plan : or, cela est contraire à la définition donnée au numéro précédent; donc la surface est gauche.

551. La surface qui nous occupe admet, comme l'hyperboloïde gauche, un second mode de génération inverse du premier , et dans lequel deux des génératrices A, A', A", deviendront les directrices. Pour le prouver, dé-

ç ç, n montrons que tout plan DUV parallèle aux deux directrices B et B', coupe le paraboloïde suivant une droite; ce qui se réduit à faire voir que les trois points i) , D', D", où ce plan rencontre trois génératrices quelconques A , A', A", se trouvent en ligne droite.