CHAPITRE m. — DU PARABOLOÏDE HYPERBOLIQUE

Projetons la figure entière sur un plan QOX parallèle aussi aux deux directrices B et B', et employons pour lignes projetantes des droites obliques (*), mais parallèles toutes à une ligne PO menée arbitrairement dans le plan directeur POX. Alors, B et B' deviendront deux lignes quelconques h et b'; mais les droites MDN, M'D'N', M"D"N", ayant leurs plans projetants parallèles à P, se projetteront suivant des droites mdn, m'd'n\ m"d"n'\ nécessairement parallèles à l'intersection OX des deux plans P et Q. Gela posé, on aura évidemment

MD md M'B' m^ M^^D^' m"d"

mais, d'un autre côté, le plan DUV étant parallèle aux deux lignes B et B', on peut regarder les droites A , A', A", comme coupées par trois plans parallèles; et d'après un théorème connu de la géométrie ordinaire, on aura les rapports égaux

MD M'D' WD"

~m ~~ WW ~~ D"N" '

qui, en vertu des égalités précédentes, donneront encore

md m'd' m'^d"

dn d'n' d"n"

Or , puisque ces rapports égaux subsistent entre des droites mn , m'n' , m"ri" , qui sont parallèles entre elles, il en résulte nécessairement que les trois points d, d\d'\ sont sur une même droite qui convergerait avec b et b' vers un point unique; d'où il suit que les points de l'espace D, D', D", se trouvent dans le plan projetant passant par la droite dd'd" ; et comme ils sont d'ailleurs dans le plan DUV qui est distinct de ce plan projetant, il en résulte que ces trois points D, D', D", sont effectivement en ligne droite.^

552. D'après cela, si ion fait glisser sur deux génératrices A et A' du premier FiG. 1 15. mode, une droite mobile B" assujettie en outre à demeurer parallèle au plan Q , elle

(*) Nous avions , jusqu'à présent, démontré cette proposition en conservant les projections orthogonales, et employant un plan QOX perpendiculaire au plan directeur P; ce qui laisse subsister tous les raisonnements et les calculs du texte. Mais la marche actuelle offre l'avantage de mettre sous les yeux du lecteur, le second plan directeur Q qu'admet le paraboloïde hyperbolique

engendrera le même paraholoïde que ci-dessus; car, lorsque B" passera par le point D par exemple, elle ne pourra manquer de coïncider avec la droite DD'D" qui est située (n' 551) sur ce paraboloïde , et qui remplit déjà les conditions imposées à B". Ainsi , voilà un second mode de génération où le nouveau plan directeur Q est parallèle aux deux directrices B et B' de l'ancien mode, et où les directrices nouvelles sont deux génératrices quelconques du premier système A. -

555. Maintenant, essayons de faire mouvoir une droite B" de manière qu'elle s'appuie constamment sur trois droites quelconques A , A' , A" , du premier système, sans lui imposer la restriction d'être parallèle à un plan directeur. Ces conditions suffiront pour régler complètement (n° 521) le mouvement de cette génératrice; et quand elle passera par le point D, par exemple, elle devra encore coïncider avec DD'D" qui remplit déjà les conditions énoncées; donc B" va ainsi décrire le même paraboloïde que précédemment. Par conséquent, voilà un troisième mode de génération , dans lequel cette surface est produite par /e mouvement d'une droite B" qui glisse constamment sur trois droites fixes A, A', A", lesquelles sont parallèles à un même plan; car ici ces trois directrices, a» lieu d'être tout à fait quelconques, se trouvent par la définition du n° 5 i9, parallèles toutes au plan P; de sorte que, sous ce point de vue, le paraboloïde hyperbolique est un cas particulier de l'hyperboloïde à une nappe (n° 521). D'ailleurs , quoique on n'ait pas imposé à la droite mobile B" la restriction de demeurer parallèle à un plan fixe, elle ne laissera pas de remplir cette condition, puisque les positions quelle prendra, comme DD'D", sont déjà toutes parallèles au plan Q; ce qui s'accorde avec la remarque du n° 529.

Il est aussi évident que ce mode de génération admet, pour réciproque, un quatrième mode dans lequel on ferait mouvoir la droite A sur trois quelconques des génératrices du système B; car cette droite A ne pourrait prendre (n° 521) que les positions A', A",.-, qui remplissent déjà cette condition, et elle demeurerait ainsi parallèle au plan P, quoique on ne lui eût pas imposé cette restriction.

FiG. 1 15. 554. Il résulte évidemment de là : i° que par chaque point D pris à volonté sur le paraboloïde , il passe deux droites situées tout entières sur la surface, et appartenant l'une au système A, l'autre au système B; 2° que deux génératrices appartenant au même mode, ne sont jamais dans un plan unique, puisque ce qui a été prouvé n° 550 pour les droites A , A', A",... s'applique évidemment aussi aux droites B, B', B",.... ; 3° que chaque génératrice d'un système coupe toutes les droites de l'autre mode, satis qu'il y en ait deux de parallèles ;