NN' N'N" N"N

d'où il résulte qu'au lieu d'un plan directeur, on pourrait assigner deux positions primitives A et A' de la droite mobile : puis, exiger que celle-ci glissât sur B et B' de manière à intercepter toujours des parties proportionnelles avec MM' et NN'. Cette marche sera d'un usage fort commode pour l'exécution en relief du paraboloide hyperbolique; car , après avoir construit un quadrilatère gauche, tel que MN]N'"M ', dont les côtés et les angles soient invariables, il suffira de diviser les côtés opposés MM" et NN' en un même nombre de parties égales; puis, en joignant les divisions correspondantes par des fils tendus en ligne droite, on obtiendra une représentation fidèle de cett<' surface. Pour y introduire en même temps les génératrices du système B, il n'y aura qu'à diviser aussi les deux autres côtés MN et M"'N"' en un même nombre de parties égales, et joindre les points de division correspondants , par d'autres fils qui devront alors s'appuyer d'eux-mêmes sur les premiers, et ne former qu'une seule et même surface, où les deux modes de génération se trouveront exprimés d'une manière bien sensible {voyez n° .tÎ66, et la fig. 120).

o56. Du plan tangent. Lorsque le point de contact G sera donné sur une gé- FiG. 1 1 5. nératrice connue AMGN, il suffira de construire seulement une seconde génératrice A' du même mode, en employant le procédé du n" 549 si le paraboloide est défini par un plan directeur P, et s'il l'était par trois directrices B, B', B",

parallèles à un même plan, on emploierait la marche du n° 521. Quand une fois on connaîtra les deux génératrices A et A', on les coupera par un plan mené du point G parallèlement aux directrices B et B', et la droite GH qui réunira les points de section , sera située (n*^ 55 1 )f5ur le paraboloïde ; donc le système des deux droites AG et GH, qui sont elles-mêmes leurs propres tangentes, déterminera le plan tangent de la surface pour le point donné G.

557. Si l'on assignait seulement la projection horizontale g du point de contact, sans donner la génératrice qui le contient, il faudrait chercher d'abord la seconde projection de ce point. Pour cela, on ferait passer par g un plan vertical quelconque dont on détermmerait les intersections avec diverses génératrices, et la suite de ces points fournirait la projection verticale de la section faite dans la surface ; alors, on projetterait le point g sur cette courbe, et ayant ainsi les deux projections g et g' du point de contact, il serait bien facile de mener la génératrice qui, passant par ce point, s'appuierait sur B et B'; de sorte que l'on serait ramené au cas précédent.

558. La surface gauche qui nous occupe , est identique avec le paraboloïde hyperbolique que nous avons décrit au n° 89. En effet, cette surface gauche est du second degré; car, sans effectuer les calculs , il est facile de voir que les conditions par lesquelles on exprimerait que la droite mobile A a toujours un point de commun avec B et avec B', et demeure parallèle au plan P choisi, si l'on veut, pour un des plans coordonnés, conduiraient à une équation qui ne dépasserait pas le second degré; et cette conséquence s'accorde avec la dernière remarque du n° 554. Ensuite, cette surface gauche n'admet aucune section plane qui soit une courbe FERMÉE, comme nous allons le démontrer (n" 564) ; d'ailleurs, elle ne peut être un cylindre à base hyperbolique ou parabolique, attendu qu'elle est gauche ; il faut donc qu'elle coïncide avec le paraboloïde hyperbolique (n° 89), puisque toutes les autres surfaces du second degré admettent, par leur génération même , des sections elliptiques. ( Voyez livre II, chapit. I".)

FiG. <r5. ^^^. Sectioiss PLANES du paraboloïde hyperbolique. On obtiendra la courbe d'intersection de cette surface avec un plan donné n , en construisant les points où ce plan coupe les diverses génératrices A, A', A",....; et la tangente à cette courbe en un point donné , résultera de l'intersection du plan n avec le plan tangent au paraboloïde, pour le point en question , plan qui se construira comme au n° 556. Quant à la nature de la section, on peut la prévoir d'avance par les règles suivantes.

560. D'abord , si le plan sécant n passe déjà par une droite A du paraboloïde^