CHAPITRE III. — DU PARABOLOÏDE HYPERBOLIQUE

l'autre branche d'intersection sera encore rectiligne, puisque cette surface est du second degré; on l'obtiendra en cherchant seulement les points D' et D", où n va rencontrer deux autres génératrices A' et A", du même mode que A; et la section totale se composera des deux droites A et DD'D", de sorte que le plan 7X se trouvera tangent en D , et sécant partout ailleurs.

561. Dans le cas plus particulier encore, où le plan n qui passe par A, se trouverait parallèle au plan directeur P qui correspond à cette génératrice, il ne couperait plus les autres génératrices du même mode, de sorte que la seconde branche d'intersection qui était tout à l'heure DD'D", s'éloignerait tout entière à l'infini. Donc alors la section se réduirait à la droite unique A; mais le plan n devrait toujours être considéré comme tangent au paraboloide dans le point infiniment éloigné situé sur A , ou bien comme un plan asymptote de la surface.

n62. Généralement, soit n un plan quelconque qui n'est pas parallèle à l'intersection OX des deux plans directeurs ; il coupera ceux-ci suivant des droites â et &' non parallèles à OX , et alors il existera dan^ chaque système une génératrice parallèle à n. En effet , conduisons par la directrice B un plan BCE parallèle à la trace â ; ce plan coupera nécessairement la directrice B' en un certain poiut N", et en menant par ce point la droite N"M"A" parallèle à c?, elle ira rencontrer la directrice B, et sera évidemment une génératrice parallèle au plan n. Si l'on opère d'une manière semblable pour la trace â' , en menant par la génératrice A un plan parallèle à â\ il coupera une autre droite A' du même système en un point D', par lequel on pourra conduire une autre génératrice B" qui sera parallèle à (?' et au plan n. De là on doit conclure que la section faite par ce plan tt, présentera deux branches ouvertes, qui convergeront vers les points infiniment éloignés où n irait rencontrer les deux génératrices A" et B"; ainsi cette section sera une hyperbole dont nous allons construire les asymptotes.

Menons par la génératrice A", un plan n' parallèle à P : ce plan n' sera tangent (n" d61) au paraboloide dans le point situé à l'infini sur A"; donc l'intersection de ce plan tangent avec le plan n de la courbe , fournira l'asymptote de la branche qui converge vers A", et cette asymptote sera évidemment parallèle à cette génératrice. L'autre asymptote sera donnée semblablement, par l'intersection du plan n avec un plan 71" mené suivant B" parallèlement au second plan directeur Q , et elle sera parallèle à B".

o63. Enfin , supposons que le plan sécant n soit parallèle à l'intersection OX des deux plans directeurs, auquel cas ses deux traces â et &' sur ces derniers,

se trouveront elles-mêmes parallèles à OX. Alors, si l'on veut essayer d'obtenir une génératrice parallèle à;r, il faudra encore mener par B un plan BCE parallèle à â; mais ici ce plan ne coupera plus aucune des génératrices B', B",.... puisqu'il deviendra évidemment parallèle à Q; donc la génératrice parallèle à ;:, dans le système A, est transportée tout entière à une distance infinie. 11 en sera de même de la génératrice qui, dans le système B, serait parallèle à ;:; de sorte que la section faite par le plan ;r sera encore ouverte , puisqu'il y aura des génératrices de plus en plus éloignées qui approcheront indéfiniment d'être parallèles à;r; mais cette courbe nnura plus d'asymptote. En effet, cette dernière ligne serait donnée, comme on l'a vu au numéro précédent, par l'intersection du plan n avec un plan ;:' ou it" parallèle à P ou Q, et mené suivant la génératrice parallèle à 7: : or cette génératrice est ici transportée tout entière à rinfini; donc aussi le plan u' s'éloigne indéfiniment, et ne fournit plus d'asymptote. Par conséquent la section relative au cas actuel est une parabole.

564. En résumant cette discussion, on voit : \° que tout plan n parallèle à l'intersection OX des deux plans directeurs (*), donne une section parabolique ; et si, en outre, n est parallèle à l'un de ces plans directeurs, cette parabole se réduit à une droite unique (n** 561).

2^. Si le plan sécant n n'est point parallèle à l'intersection OX des deux plans directeurs, la section est UNE hyperbole; mais elle dégénère EN DEUX droites qui SE COUPENT, si le plan sécant contient déjà une génératrice de la surface (n** 560).

3^. Dans aucun cas, la section faite par un plan quelconque n dans leparaboloïde, ne peut être UNE COURBE FERMÉE.

56o. Observons aussi que les constructions indiquées au n° 562 , serviront à résoudre ce problème : trouver sur un paraboloide donné , une génératrice qui soit parallèle à un plan connu n. Il y aura deux solutions quand ce plan ;: ne sera point parallèle à lintersection des deux plans directeurs ; et le problème sera impossible, lorsque n se trouvera parallèle à cette intersection, à moins qu'il ne le soit en même temps à l'un des plans directeurs, auquel cas il existera une infinité de solutions, fournies par toutes les génératrices parallèles à ce plan directeur.

PROBLEME. Représenter un paraboloide engendré par une droite mobile A qui

( * On verra au q° i>7*i que cette droite OX est Vaxe principal du paraboloide , on du moins , lui est parallèle; car les deux plans directeurs ne sont pas déterminés quanta leur position absolue , mais seulement quant à leur direction.