CHAPITRE III. —DU PARABOLOÏDE HYPtRROLlQUE

(j lisse sur deux droites fixes B et Bj , en demeurant parallèle à un plan directeur donné P ; et construire le plan tangent de cette surface, pour un point connu. 1 ;ituu i

566. Afin de donner à notre épure toute la symétrie qu'on devrait chercher à obtenir dans la construction d'un modèle en relief, nous ferons observer quun plan Q parallèle aux droites données B et Bj , serait le plan directeur du second mode de génération (n" 552) du paraboloïde cherché; et comme ce plan Q est évidemment déterminé,ç.au moins en direction , par les données actuelles du problème , il nous sera toujours permis d'adopter les dispositions suivantes :

1°. Nous choisirons notre plan horizontal de projection, perpendiculaire FiG. 120. aux deux plans directeurs P et Q, lesquels seront alors représentés par leurs traces horizontales op et oq.

2°. Nous dirigerons le plan vertical de projection , de manière qu'il soit parallèle à la droite oy qui divise en parties égales l'angle /?o^; puis, nous tracerons les projections (CD, CD') de la droite donnée B, et les projections (EF, G' F') de l'autre directrice B2 , en faisant attention que les deux projections horizontales CD et EF, devront être nécessairement parallèles entre elles, d'après la condition 1°, puisqu'elles le seront à la trace ocj du plan directeur Q.

3*^. Nous pouvons encore élever ou abaisser notre plan horizontal, de telle sorte que la ligne de terre VY' passe par le point C où se croisent les deux projections verticales des directrices B et Bj ; et alors les traces horizontales G et E de ces droites, se trouveront sur une même perpendiculaire GE à la ligne de terre.

4**. Nous limiterons ces directrices aux deux points (D, D'), (F, F'), où elles vont rencontrer le plan vertical DOF mené perpendiculairement sur le milieu de GE ; de sorte que la figure GDEF sera un losange , dont le centre O sera la projection de l'axe du paraboloïde, ainsi que nous le verrons plus loin (n° 572), pourvu cependant que les directrices B et Bj soient également inclinées sur le plan horizontal actuel. A la vérité, cette dernière condition pourrait bieu ne pas être remplie par les directrices que la question assigne ; mais nous admettrons quelle est vérifiée ici, et par suite que les points (D, D'), (F, F' ) , sont à la même hauteur , attendu que dans tous les cas , nous saurons retrouver (n° 572) parmi les génératrices du paraboloïde, deux droites qui seraient également inclinées sur la verticale, et qui dès-lors pourraient être substituées aux directrices données (GD, G'D'), (EF, G' F'), si ces dernières ne remplissaient pas cette condition.

28o LIVRE VII. — DES SURFACES GAUCHES.

FiG. I20. 567. Gela posé, la droite qui réunira les points (D, D') et (E, G'), sera évidemment parallèle au plan directeur P, puisque sa projection horizontale DE se trouvera parallèle à la trace op de ce plan vertical P, d'après les conditions 2° et 4** du numéro précédent. Donc (DE, D'G/) est une position de la génératrice mobile A; et comme il en sera de même de la droite (GF, G'F'), on voit que si l'on divise en un même nombre de parties égales , les deux directrices données (GD, G'D'), (EF, G'Ç'); puis, que l'on joigne les points de division o et i6, i et 1 5, 2 et 1 4, 3 et i3, , on obtiendra ainsi les diverses génératrices du système A, savoir