CHAPITRE III. — DU PARABOLOÏDE HYPERBOLIQUE

prouve que la parabole D'O' F' n'est autre chose que la section faite par le plan vertical DOF, dans le paraboloide en question.

569. Maintenant , si l'on projetait ce même paraboloide sur un plan vertical VZ" parallèle à la diagonale CE , les directrices primitives deviendraient les droites (CD, G"D"), (EF, E"D"); et l'on prouverait, comme ci-dessus, que les projections des génératrices formeraient par leurs intersections successives, une autre parabole G"0"E" qui représenterait la section faite dans la surface par le plan vertical GOE. FjCS lecteurs familiarisés avec l'application de l'analyse à la géométrie des trois dimensions, reconnaîtront dans les plans verticaux OY et OZ qui fournissent ces paraboles , les deux plans diamétraux principaux du paraboloide hyperbolique, lesquels doivent se couper (n*' 91) suivant l'axe unique de cette surface; et en effet, nous allons démontrer (n° 572) que cet axe est la droite (O, O'X').

570. Le paraboloide hyperbolique admet, comme nous l'avons vu au n° 551 , FiG. i 20. un second système de génératrices rectilignes qui sont parallèles au plan directeur Q, déterminé par les deux directrices primitives B etBa, ou (GD, G'D')

et (EF, G 'F'); c'est ici le plan vertical oq. Par conséquent ces nouvelles génératrices seront projetées hoi izontalemcnt sur des parallèles à la trace oq; et comme elles doivent en outre s'appuyer sur deux droites du premier système A, par exemple sur (DE, D'G') et (GF, G'F') dont les extrémités correspondent déjà (n° 566) à des plans verticaux DG et EF parallèles à o^, on voit qu'il suffira de diviser en un même nombre de parties égales , ces deux nouvelles directrices (DE, D'G'), (GF, G'F'), puis de joindre ensemble les points de division o et 16, I et i5, 2 et i4, 3 et 16, ; par-là, on obtiendra les diverses génératrices du système B , savoir :