GD,G'D'),...., (^MA,G'M'H'),...., (FE,F'G

571. Ces droites du système B se confondront en projection verticale avec celles du système A déjà construites; car dans le losange GDEF, il est évident que les points G et ^, H et A, se trouveront deux à deux sur des perpendiculaires à la ligne de terre; ainsi les projections verticales de ces génératrices B, seront encore tangentes à la parabole principale D'O'F'; mais les parties visibles, comme ( MA, M 'H'') , tomberaient sur les parties ponctuées des génératrices A , et réciproquement. G'est pourquoi, afin de laisser subsister pour l'œil la distinction des deux nappes antérieure et postérieure au plan vertical DOF, nous n'avons pas voulu représenter les génératrices du système B comme réellement

existantes, tndis nous les avons marquées seulement en lifjues mixtes sur le plan hoiizontal.

Une coïncidence analogue aura lieu sur le plan vertical VZ", où les (génératrices du système B se trouveront aussi tangentes à la parabole principale G"0"E".

572. Pour trouver le 5ommef et Taxe du paraboloïde hyperbolique, il faut emprunter à l'analyse, ou bien admettre comme des définitions qu'il est loisible de poser, les relations suivantes : L'axe du paraboloïde est une droite para l^ lèle aux deux plans directeurs P ef Q , et telle quelle coupe la surface en un point par lequel passent deux génératrices qui sont l'une et l'autre perpendiculaires à cet axe: ce point est d'ailleurs appelé SOMMET (n" 91). D'après cela, on voit que pour des données quelconques , il faudra généralement mener un plan n perpendiculaire à P et Q, puis chercher par le n** 5(î5, les deux génératrices qui sont parallèles à n. Alors le point de rencontre de ces deux droites sera le sommet demandé; et une perpendiculaire à n menée par ce point, sera l'axe de la surface.

P Mais, ici où nous avons adopté (n** 566) les données les plus symétriques, il

est clair que l'axe du paraboloïde est vertical, et que par le point (O, O') il passe deux génératrices horizontales (K'OT, KOI) et (K'O'l', kOi); donc le point (O, O') est le sommet demandé, et par suite l'axe est la droite (0,G'0'X').

Parmi les conditions admises au n** 566, il y en a une seule qu'on ne sera pas toujours maître de remplir; c'est celle qui suppose que les deux directrices données sont également inclinées sur le plan horizontal , choisi comme nous l'avons fait. Lorsque cette relation ne sera pas vérifiée, il en résultera seulement que les points D' et F' ne se trouveront plus à la même hauteur, et que le centre O du losange GDEF formé comme il a été dit (n** 566), ne sera plus la projection du sommet de la surface; mais alors on obtiendra ce sommet par la méthode générale, ou plus simplement, en menant à la parabole D'O^F\une tangente horizontale. D'ailleurs, on pourra aussi se procurer deux directrices telles que nous les avons admises, en conduisant à cette parabole deux tangentes également inclinées sur la verticale; et en regardant ces droites comme deux génératrices du paraboloïde, on retrouvera aisément leurs projections horizontales , qui serviront alors à former le losange dont le centre répondra exactement au sommet de la surface.

575. Pour manifester clairement la forme inverse des deux nappes du paraboloïde, qui sont l'une au-dessus, l'autre au-dessous du sommet unique (O, O')