CHAPITRE lY

Des plans tangents aux surfaces gauches générales.

L'hyperboloïde à une nappe et le paraboloide hyperbolique sont , parmi les surfaces gauches , les plus simples que l'on puisse concevoir, puisque toutes leurs directrices sont recti lignes ; aussi ce sont les seules dont l'équation ne s'élève pas au-delà du second degré, et pour cette raison, on les appelle les deux surfaces gauches du second degré. Gomme la construction de leurs plans tangents est facile , on a cherché à y ramener la solution des questions semblables pour les surfaces gauches générales , et l'on y est parvenu au moyen du lemme suivant.

575. Lemme. Lorsque deux surfaces gauches S et S' ont une génératrice corn- Fig. i i6. mune G\jMN^ et quelles SE touchent en trois points L,M, N de cette droite,

alors ces deux surfaces SE RACCORDENT complètement tout le long de cette génératrice^ c'est-à-dire que, pour chaque point de cette droite, le plan tangent est commun à l'une et à l'autre surface.

Puisqu'on L les deux surfaces ont un plan tangent commun, et qu'il en est de même aux points M et N, trois plans quelconques menés par ces points, couperont les surfaces S et S' suivant des courbes respectivement tangentes,

Aa, B6, Cr, et A'a', B'6', C'c\

dont les trois premières pourront être adoptées pour directrices de la droite mobile G , quand elle décrit la surface S , tandis que les trois autres courbes seront les directrices relatives à S'. Gela posé, je fais glisser la génératrice G sur les trois directrices Aa, B/>, Ce, et je l'amène dans une position infiniment voisine glmn : cette droite mobile n'aura pas cessé d'être en même temps sur la seconde surface S', parce que les courbes directrices de celle-ci, qui sont tangentes aux autres, ont de commun avec elles les éléments linéaires L/, Mm, Nn ; donc les droites G et ^ , ainsi que toutes les positions intermédiaires de la génératrice, sont communes aux surfaces S et S', ce qui permettrait déjà de conclure que ces surfaces ayant de commun l'élément superficiel compris entre G et (/, et indéfini en longueur, elles se touchent tout le long de la droite G. Mais pour établir encore plus clairement cette conséquence, coupons les surfaces 8 et S' par un quatrième plan arbitraire, mené par le point quelconque H : alors les sections seront deux courbes Dd et T)'d' qui passeront nécessairement par les deux points H et h où ce plan sécant rencontrera les droites G et ^ ; donc les courbes Dd et D'd' ayant deux points communs infiniment voisins , se toucheront suivant l'élément HA, ou bien elles auront la même tangente H/iT. Par conséquent les plans tangents de S et de S' au point H, coïncideront bien l'un avec l'autre, puisque chacun d'eux devra passer par les droites GH et HT.

576. Si les surfaces gauches S et S' sont du genre de celles qui admettent un plan directeur, il suffira, pour qu'elles se raccordent tout le long d'une génératrice commune G, qu'elles aient seulement deux plans tangents communs en deux points de cette droite , et qu'en outre le plan directeur soit le même pour l'une et l'autre surface. Cette proposition se démontrera précisément comme la précédente, et l'on doit voir tout de suite pourquoi, dans le cas actuel, on n'exige que deux plans tangents communs ; car dès lors que les' directrices Aa et A'a', B6 et B'b\ sont respectivement tangentes, et qu'en outre le plan