CHAPITRE IV. — PLANS TANGENTS AUX SURFACES GAUCHES

directeur est le même , cela suffit évidemment pour que la droite G qui glisse sur Aa et Bb parallèlement à ce plan directeur, ne cesse pas de se trouver à la fois sur les deux surfaces, quand elle passe de la position G à la position infiniment voisine g.

Les deux théorèmes précédents sur le contact des surfaces gauches , sont non-seulement utiles dans plusieurs questions de stéréotomie où l'on veut raccorder de pareilles surfaces; mais ils servent aussi de base à la méthode par laquelle on construit leurs plans tangents ou leurs normales, dont la détermination est encore nécessaire pour former les joints des voussoirs de certaines voûtes.

577. Du PLAN TANGENT dont le point de contact est donné. Soient Aa, B/>, Ce, FiG. i in. les trois directrices d'une surface gauche quelconque S , et H le point d'une génératrice GLMIJf , pour lequel on demande le plan tangent. Je mène les tangentes LT, MU, NV, aux directrices données, et en faisant glisser la droite G

sur ces trois tangentes fixes , j'obtiendrai (n° 521 ) un hyperboloïde à une nappe qui aura évidemment en L, M, N , les mêmes plans tangents que S. Donc ces deux surfaces se toucheront (n° 575) dans tous les points de la génératrice GLMN; et par suite, la recherche du plan tangent de la surface S au point H, sera ramenée à celle du plan tangent de cet hyperboloïde en ce même point , problème dont la solution a été indiquée au n° 550 : mais nous allons donner une méthode encore plus simple au n° 579.

578. Observons d'abord que pour construire un hyperboloïde de raccordement le long de la génératrice G, il n'est pas nécessaire d'employer précisément les trois tangentes LT, MU, NV : il suffirait d'adopter pour directrices trois droites quelconques, situées respectivement dans les plans GLT, GMU, GNV qui touchent la surface S aux points L, M, N; car l'hyperboloide ainsi formé aurait encore évidemment trois plans tangents communs avec la surface S. Par conséquent l' hyperboloïde de raccordement est susceptible d'une infinité de formes; aussi, parmi tous ces hyperboloïdes tangeiïts, il y en aura un qui offrira un contact plus intime avec la surface S, et qu'on appelle hyperboloïde osculateur; mais comme sa construction ne nous est pas utile à présent, nous en parlerons en traitant de la courbure des surfaces (^voyez u° 744 ).

579. Un paraboloide de raccordement offre la méthode la plus simple pour construire le plan tangent d'une surface gauche générale S. En effet, dans le plan tangent de S en N , lequel est déterminé par GN et NV, on peut toujours tracer une droite NR qui soit parallèle au même plan que LT et MU ; car cela se

réduit à couper le plan tangent GNV par un plan paiallèle à LT et MU. Alors , si j'adopte les trois droites LT, MU, NR, qui se trouvent parallèles à un plan unique, pour diriger le mouvement de la génératrice G, j'obtiendrai (n''555) un paraboloïde qui aura encore trois plans tangents communs avec la surface S, dans les points L, M, N; donc le plan qui touchera S en H, sera le même (n° 573) que le plan tangent du paraboloïde ainsi formé; or ce dernier plan se construira par la méthode très-simple du n° 5o6. Nous offrirons bientôt un exemple de ces constructions dans le problème du n" 608.

580. Lorsque la surface S admettra elle-même un plan directeur P , il suffira alors d'adopter les tangentes FjT et MU aux deux courbes directrices, pour faire glisser la génératrice GLM parallèlement au plan P; par-là cette droite décrira immédiatement un paraboloïde qui aura bien deux plans tangents communs avec S et le même plan directeur. Donc (n°576) ce paraboloïde touchera la surface S tout le long de GLM; de sorte qu'en construisant le plan tangent de ce paraboloïde pour le point H (n° 556), ce sera aussi le plan qui touchera la surface S en ce point. (Voyez l'exemple du n^ 598.)

581. Si une des directrices linéaires était remplacée par une surface directrice 2, à laquelle la génératrice de S devrait demeurer tangente (n** 516) , la courbe aa'a".... formée par la suite des points de contact des génératrices Ga, G' a', G"(/.'\.... avec 2, serait au fond la troisième directrice linéaire; mais sans construire cette courbe, ni sa tangente, il n'y a qu'à observer que le plan tangent de la surface 1 au point a, est le même que le plan tangent de la surface gauche proposée S , puisque l'un et l'autre doivent renfermer la droite Ga et la tangente de la courbe acc'cc".... Donc il suffira de tracer dans le plan tangent de 2, relatif.au pointa, une droite quelconque aR, laquelle jointe aux tangentes des deux autres directrices linéaires, servira encore à former une surface auxiliaire du second degré , qui aura trois plans tangents communs avec S , et dont on tirera le même parti qu'au n'* 577. Cette méthode trouvera des applications utiles dans les épures relatives aux escaliers en pierre ou en bois; voyez aussi l'exemple du n° 604.

582. Enfin , il peut arriver que la définition de la surface gauche S , ne fasse pas connaître immédiatement trois directrices, comme nous en avons ^clté des exemples au n"* 519; ou bien, que ces directrices étant données, on ne sache pas construire leurs tangentes. Dans ce cas, désignons par G la génératrice sur laquelle - est situé le point H où l'on veut trouver le plan tangent, et construisons plusieurs génératrices voisines.''.. G3, Ga, et G', G",.-qui précèdent et qui suivent la proposée. Alors, un plan n mené arbitrai-