CHAPITRE IV. — PLANS TANGENTS AUX SURFACES GAUCttES

rement par la droite G, coupera ces génératrices voisines en des points a,, a,, a', a", qui fourniront une courbe a^a^oi' en"... dont la rencontre a avec G, fera connaître le point dans lequel le plan ;: touche la surface S; en effet, ce plan n renfermant la droite Ga et la tangente de la courbe aa'a"..., sera bien tangent à S dans le point a. De même , en conduisant par la droite G un autre plan tt', on trouvera le point ê où il sera tangent à S; puis, un troisième plan n '', mené par G , touchera cette surface en un certain point y. Cela posé, dans les trois plans tangents tt, t:\ n", on tracera des droites quelconques aR, €T, yV, que l'on adoptera pour directrices dune surface gauche du second degré, laquelle touchera bien la surface proposée S tout le long de la droite G ( n° 578 ) ; donc la recherche du plan tangent de S au point H, sera réduite à trouver le plan tangent de la surface auxiliaire du second degré, pour ce même point; problème qui se résoudra comme au n° 530 ou 556, selon que les trois directrices rectilignes auront été choisies parallèles ou non , à un même plan.

585. Il résulte de là que tout plan tc mené par une droite G d'une surface gauche , se trouve en général tangent à cette surface dans un certain point a , qui se détermine en construisant, comme ci-dessus, la courbe ol^cl^oJ o." .... suivant laquelle ce plan coupe la surface proposée. Cependant , le plan u deviendrait asymptote de la surface, si la courbe a^CL^OL'a.".... ne rencontrait la droite G qu'à l'infini, ainsi qu'il est arrivé dans l'hyperboloide au u 540 ; ou encore, si ce plan ne coupait pas les génératrices voisines de G, comme dans le cas du paraboloide examiné au n° 561.

584. Ce qui précède nous permet de résoudre un problème intéressant, du moins sous le rapport de la théorie : c'est de construire la tangente à une courbe D tracée arbitrairement, et tout à fait inconnue quant à ses propriétés géométriques, mais donnée par ses deux projections.

Pour cela (*), faisons passer par cette courbe une surface gauche S qui ait pour directrices la courbe D et deux droites A et B prises à volonté. Après avoir construit la génératrice Ga qui passera par le point a donné sur la courbe D, on saura trouver par le n® 582, le plan tangent de S pour le

(*) CeUe méthode ingénieuse est due à M. Hachette. Mais il faut avouer que, dans la pratique , la multiplicité des opérations qu'elle entraîne , ne produira pas un résultat plus certain que si l'on se contentait de mener cette tangente au moyen de. la règle, en lui donnant un petit arc de commun avec la courbe proposée.

point a , sans employer la tangente inconnue de la directrice D. De même , en formant une seconde surface gauche S', dont les directrices seraient la courbe D et deux droites A', B', très-différentes des premières, on saura construire aussi le plan tangent de S' pour le point donné a. Or, puisque la courbe D est en même temps sur les deux surfaces S et S", sa tangente au point a devra être située dans les deux plans tangents dont nous venons de parler; et par conséquent elle sera fournie par l'intersection de ces plans.

Pour simplifier les opérations graphiques, on pourra former les deux surfaces gauches S et S', avec deux seules directrices D et A , D et A', en y joignant d'ailleurs un plan directeur commun P. Une seule surface S suffirait évidemment, si la courbe D était plane, puisque le plan de cette courbe devrait renfermer la tangente demandée.

385. Des plans tangents dont le point de contact rïest pas donné. On peut appliquer aux surfaces gauches les méthodes générales indiquées pour ces sortes de problèmes dans le livre V; mais ici, elles sont susceptibles de quelques simplifica,tions notables.

8i le plan tangent à la surface S, est assujetti seulement à passer par un point donné \, le problème admettra une infinité de solutions (n°548), lesquelles seront fournies toutes par la ligne de contact d'un cône circonscrit à la surface S, et ayant son sommet en V. Pour obtenir cette courbe, il suffira de mener par le point V et par chacune des diverses génératrices G, G', G",.--.

des plans qui seront tangents à la surface S , en des points a, ê, 7, que l'on

saura construire (n° 583); alors la courbe aêy qui réunira tous ces points,

sera la ligne de contact cherchée.

586. Cette marche sera fort commode, si la surface S est du second degré; car la ligne auxiliaire ce ^ a 2 ce' ce" du n° 582, qui sert à trouver le point de contact a du plan mené par la génératrice G , se réduira à une droite dont il suffira de construire deux points; et la courbe définitive aêy... sera elle-même plane et du second degré (n° 3o5).

On pourrait ramener au cas actuel le problème du numéro précédent , en construisant le paraboloïde de raccordement le long de chaque génératrice G de la surface quelconque S.

587. Lorsque le plan tangent à la surface S, devra être parallèle à une

droite donnée D , on conduira par les diverses génératrices G , G', (^",

des plans parallèles à D ; et en déterminant (n'' 585) leurs points de contact a, ê,7,... avec la surface S, la courbe aSy.... serala ligne de contact d'un cy-^