CHAPITRE IV. — PLANS TANGENTS AUX SURFACES GAUCHES

tindre circonscrit à S et parallèle à D; par conséquent cette courbe" aêy. .. fournira toutes les solutions du problème proposé (n°378).

588. Si la surface S est du second degré , on retrouvera les mêmes simplifications qui ont été indiquées au n° 586; et Ton pourra aussi ramener au cas actuel , le problème analogue pour une surface quelconque S.

589. Lorsque le plan tangent à la surface gaucbe quelconque S devra passer par une droite donnée D, il n'y aura qu'à suivre la marche générale indiquée n*' 595, laquelle consiste à chercher les points communs aux courbes de contact de deux cônes qui sont circonscrits à S, et qui ont leurs sommets placés sur la droite D.

590. Mais si la surface gauche est du second degré , on résoudra le problème d'une manière beaucoup plus simple , par les considérations suivantes. Le plan langent cherché devra contenir, outre la droite D, les deux génératrices de l'hyperboloïde (ou du paraboloïde) qui se coupent au point de contact inconnu; donc une, au moins, de ces génératrices ira rencontrer D en un point M , dans lequel cette dernière droite traversera l'hyperboloïde.

D'après cela, si l'on commence par chercher (n° 554, 5^) les deux points M et M' où la droite donnée D coupera généralement la surface; puis, si l'on construit les quatre génératrices MA et MB, M'A' et M'B', qui passent par ces deux points, il n'y aura plus qu'à conduire par les droites D et MA, D et MB, deux plans qui satisferont au problème, puisqu'ils seront tangents quelque part à la surface (n*'545). D'ailleurs, comme le plan DMA renfermera évidemment la génératrice M'B' qui a un point M' dans ce plan et qui nécessairement rencontre MA , et que Tautre plan DMB contiendra semblablement la génératrice M'A', on voit que les points de contact a et ê de ces plans tangents, seront fournis immédiatement par la rencontre de MA avec M' B', et de MB avec M'A'.

591. Il résulte de là que le problème en question sera impossible, toutes les fois que la droite D ne rencontrera pas l'hyperboloïde. Cependant, il ne faut pas comprendre dans cette exclusion, le cas où cette droite venant à comcider avec une arête du cône asymptote , se trouverait elle-même asymptote de la surface : alors le pian tangent demandé serait celui qui touche ce cône le long de la droite D.

592. Considérons enfin , la cas ou le plan tangent cherché doit être parallèle à unplan donné n. Si la surface gauche S est quelconque, il faudra encore

recourir à la marche j^énérale du n° 421; mais on pourra y substituer les méthodes suivantes, lorsque la surface sera du second degré.

593. Pour un hyperboldide gauche, on cherchera comme au n° 548, les génératrices A et B, A' et B', qui dans les deux systèmes , se trouvent parallèles au plan n\ on sait que les deux premières seront parallèles entre elles, et que les deux autres offriront une relation semblable. Alors , le plan conduit par les di'oites A et B', ainsi que celui qui passera par B et A', satisferont évidemment au problème, puisqu'ils renfermeront chacun deux droites parallèles à 71 et qui se coupent. D'ailleurs, les points de contact seront immédiatement fournis par la rencontre des génératrices A et B', B et A' ; et le problème pourra admettre deux solutions, ou une seule, ou aucune, suivant la discussion faite au n« 547.

594. Pour un paraholoïde gauche , on trouvera encore plus facilement par le n° 565 , les deux seules génératrices A et B qui , dans les deux systèmes, sont parallèles au plan n; et comme ces deux droites ne sauraient être ici parallèles entre elles (n** 554, 3°), le plan conduit suivant ces deux lignes , sera bien parallèle à ;:, et fournira la solution unique du problème actuel. D'ailleurs, le point de contact de ce plan tangent sera donné immédiatement par la rencontre des génératrices A et B.

On aurait pu se contenter de construire une seule A de ces génératrices, puis de mener par celle-ci un plan parallèle à n; mais alors il resterait à trouver le point de contact de ce plan tangent, en cherchant la seconde branche de son intersection avec le paraholoïde, laquelle serait précisément la génératrice B. Le problème peut être impossible ou indéterminé, selon ce que nous avons dit au n° 565.

I IG. 118. 595. THEOREME. Dans toute surface gauche S, les diverses normales MN,

M'N', M"N", menées p irtous les points d'une même génératrice G, forment

toujours un paraholoïde hyperbolique.

Si Ton désigne par 2 la surface lieu de toutes ces normales, et qu'on lui fasse •!

faire un quart de révolution autour de la droite G, chaque normale MN qui est J

déjà perpendiculaire à cet axe de rotation, décrira un plan et se rabattra suivant une droite MT qui formera des angles droits avec GM et MN; par conséquent MT se trouvera dans le plan tangent de la surface S. D'ailleurs, comme ce déplacement simultané de toutes les normales, altère seulement la position de la surface 1, et non sa forme, il suffira d'examiner quelle est la surface 1' produite par les diverses droites MT, M'T', M"T", qui sont tangentes à S,