CHAPITRE IV. — PLANS TANGENTS AUX SURFACES GAUCHES

et satisfont en outre à la condition d'être toutes perpendiculaires à la génératrice G.

Pour cela, je fais glisser la droite G sur trois quelconques de ces tangentes > savoir : MT, M'T', M"T"; et comme ces directrices sont évidemment parallèles à un même plan, je forme ainsi un paraboloide (n° 555) qui, ayant les mêmes plans tangents que la surface S aux points M, M', M", touchera cette surface (no 575) tout le long de GMM'. Or, je dis que les autres tangentes M"'T"',.... sont pareillement situées sur ce paraboloide; car, si je le coupe par un plan perpendiculaire à GM et mené par le point M'", on sait (n° 551) que la section sera une droite M"'R qui, à cause du raccordement établi entre S et le paraboloide, se trouvera contenue dans le plan tangent de la surface primitive S , c'està-dire dans le plan GM"'T"'; d'où il suit que les deux droites M"'R et M"'T"' coïncideront entièrement, puisqu'elles seront l'une et l'autre perpendiculaires à GM'", et placées toutes trois dans un même plan GM'^T'" : donc M"'T"' est bien située sur le paraboloide que nous avons construit avec les trois premières tangentes. D'ailleurs, comme ce raisonnement s'appliquerait à toutes les autres tangentes de S , perpendiculaires à la génératrice G , il demeure prouvé que la surface 2', lieu de ces tangentes, est un paraboloide hyperbolique ; et la même conclusion s'étend à la surface 1 formée par les normales MN , M'N%..., puisque celle-ci ne diffère de 1' que par sa position dans l'espace (*).

Ce théorème remarquable par sa grande généralité, puisqu'il subsiste pour toutes les surfaces gauches, servira à assigner la nature des joints normaux dans les voûtes oîi la douelle sera gauche, et à prévoir aussi la forme des sections faites dans ces joints par divers plans.

) Cette démonstration fort simple et purement synthétique, est due à M. /. Binet.