CHAPITRE Y

Exemples divers de surfaces gauches.

§!*'". Conoïde droit.

FiG. 121. 596. Nous avons dit(n** 520) qu'un conoïde était la surface engendrée par une droite mobile , qui s appuie constamment sur UNE droite et sur une courbe fixes, en demeurant parallèle à un plan donné. Ici, nous prendrons ce plan directeur pour le plan horizontal de projection, et pour directrices, l'ellipse (AZ'H, AH) et la verticale (O'Z', O); cette dernière étant perpendiculaire au plan directeur , le conoïde sera droit. Les diverses génératrices se construiront bien aisément, puisqu'il suffira de conduire un plan horizontal arbitraire B'G', qui coupera Taxe au point (O, O") , et l'ellipse aux points (B', B), (G', G); puis, enjoignant ces points, on trouvera (OB, 0"B')et(OG, O" G') pour deux génératrices du conoïde ; et les autres s'obtiendront d'une manière semblable.

597. Il est certain que cette surface sera gauche; car, quelque rapprochés que soient deux points B' et G' pris sur la directrice, les génératrices correspondantes (BO, B'O") et (CO, G'O") ne seront point parallèles, puisque leurs projections horizontales se coupent en O ; et d'ailleurs ces génératrices ne pourront se couper dans l'espace, attendu qu'elles sont situées dans des plans horizontaux différents. En outre, il faut observer que ces droites prolongées indéfiniment, formeront une seconde nappe projetée dans l'espace angulaire aOh; et que la verticale (O , O'Z') suivant laquelle se coupent les deux nappes de la surface, sera ici une ligne de striction, attendu qu'elle indiquera la direction de la plus courte distance entre deux génératrices quelconques.

598. Le plan tangent de ce conoïde, pour un point (M, M') donné sur une génératrice , s'obtiendra en appliquant ici la méthode générale indiquée au n° 580. Je trace donc la tangente B'T au point de l'ellipse où aboutit la génératrice en question (0MB, 0"M'B'), et comme l'autre directrice (O, O'Z') est une droite qui est elle-même sa propre tangente , je la conserve, et je fais glisser sur cette verticale O et sur la tangente B'T, la génératrice (OMB, O" M ' B ' ) toujours horizontale; par là j'obtiens un paraboloïde de raccordement, dont une seconde génératrice du même système est évidemment la droite TO tracée dans le plan horizontal de projection. Alors je coupe les deux génératrices OT et (OMB, 0"M'B'), par le plan vertical MP évidemment parallèle