CHAPITRE V. — EXEMPLES DE SURFACES GAUCHES

aux deux directrices, lequel devra donner (n° 551) pour section dans le paraboloïde, une droite du second système qui sera (MP, M'P'). Gela posé, le plan qui passera par les deux droites (MP, M'P')et(MB, M'B'), situées l'une et l'autre sur le paraboloide , sera bien le plan tangent de cette surface auxiliaire, et aussi du conoïde proposé, puisque ces deux surfaces se raccordent (n^ 576) tout le long de la génératrice (0MB, 0"M'B'). Or il est facile de voir que ce plan aura pour trace horizontale la droite Pcx. parallèle à MB , et pour trace verticale la droite aB' qui doit se trouver aussi parallèle à M'P'; ainsi PaB' est le plan tangent du conoïde pour le point (M , M').

599. Si l'on voulait avoir le plan tangent relatif à un autre point (N, N') situé sur la même génératrice, le paraboloide déjà construit servirait encore ; il suffirait de le couper par le plan vertical NQ parallèle aux deux directrices , et la section qui serait la droite (NQ, N'Q'), combinée avec la génératrice (NB,N'B'), fournirait le plan QêB' pour celui qui touche le conoïde en (N, N'). On reconnaît ici que les divers plans tangents de cette surface, le long de la génératrice (OB, 0"B'), sont bien distincts les uns des autres, quoiqu'ils contiennent tous cette génératrice; et par suite, leurs traces horizontales sont toutes parallèles à OB. Enfin , si l'on assignait le point de contact en (O, O"), le plan tangent deviendrait le plan vertical OBB'.

600. Il est bon d'observer que toutes les droites B'T, M'P', N'Q', doivent

aller rencontrer la verticale O'Z' en un même point que j'appellerai w'; car ce sont les projections d'autant de génératrices du paraboloide, appartenant au second système , et qui doivent toutes s'appuyer sur la génératrice du premier mode (OO', w'). D'ailleurs, comme les droites M'P', N'Q', .... seraient évidemment les tangentes des sections faites dans le conoïde par les plans verticaux MP, NQ, ...., la relation précédente s'accorde bien avec la nature de ces courbes, qui sont ici des ellipses ayant toutes un axe commun O'Z', et qui se construiraient aisément en projetant sur le plan vertical, les points où chaque plan tel que MP, rencontre les diverses droites OA, OB, OC,.... du conoïde.

§ 2 . Conoïde circonscrit à ane sphère.

601. Imaginons une droite mobile qui, restant toujours horizontale , s appuie Fig, 123. sur une droite fixe (AH, A' H') eï sur une sphère (RI, O'I') à laquelle elle demeure tangente : la surface ainsi décrite sera encore un conoïde , dans lequel la directrice curviligne sera remplacée par une surface que devront toucher les diverses génératrices. Pour obtenir ces dernières, on mènera un plan horizontal

quelconque G'S', qui rencontre la droite fixe au point (C, G'), et coupe la sphère suivant un cercle du rayon R'S'; alors, en conduisant à la projection horizontale de ce cercle , les deux tangentes CM et Cm , ce seront deux génératrices du conoide , qui seront projetées verticalement suivant la droite unique Cm'. D'ailleurs, si Ion projette sur cette dernière droite, les points de contact M et m en M' et m'; puis, si l'on répète des opérations semblables pour tous les plans horizontaux qui peuvent couper la sphère donnée, on obtiendra une courbe fermée

(RLMNPQR^pim/R, W L'M^'P'QR'qy n'm'l'W)

pour la ligne de contact de la sphère avec le conoide circonscrit : cette courbe, si elle avait été connue primitivement, aurait pu remplacer la sphère directrice.

602. Afin d'obtenir plus de netteté dans notre épure, nous avons supposé ici que les génératrices du conoide étaient terminées à leurs points de contact avec la sphère, ce qui laisse visible toute la partie de cette surface, située au delà de la courbe de contact par rapport à la droite (AH, A'H'); mais en deçà de cette droite, il existe une seconde nappe du conoide, dont la partie sw/^erieure et visible sur le plan horizontal, se trouve formée par les prolongements

BX, Gp,,Dv,.... des génératrices inférieures Bl , Gm, Dn, de l'autre nappe,

et réciproquement. D'ailleurs, pour compléter le contour apparent du conoide sur le plan horizontal, il faudrait tracer les courbes enveloppes des droites AR,

B/, Gm, etGR, FQ, EP,....; courbes qui seraient fournies immédiatement

par les intersections successives de ces génératrices, si en les multipliant davantage, nous n'avions pas craint de jeter quelque confusion dans l'épure.

603. Ici , la droite (AH , A'H' ) n'est plus une ligne de striction, comme cela arrivait dans l'exemple du n° 597 ; mais, par les raisons citées dans cet article, on verra que la surf.ice actuelle est encore gauche , aussi bien que tous les conoides.

604. Gherchons le plan tangent relatif à un point quelconque ( V , V ) situé sur la génératrice (GM, G^M') ; et comme ici la seconde directrice est une surface , et non une courbe, employons la méthode du n° 581. Je construis donc d'abord, une tangente de la sphère au point (M, M'), et pour plus de simplicité, j'adopte la tangente du méridien qui est évidemment (RMT, Z'M'T'); puis, en faisant glisser sur cette tangente et sur la directrice rectiligne (AH, A'H'), la droite (GM, G'M') toujours horizontale , je forme un paraboloide qui raccordera {n° 576) le conoide tout le long de cette génératrice : d'ailleurs,