CHAPITRE V. — EXEMPLES DE SURFACES GAUCHES

une seconde position de cette droite mobile sera évidemment la ligne TH située dans le plan horizontal de projection. Cela posé, je mène par le point (V, V'),un plan parallèle aux deux directrices (AH, A'H') et (MT, M'T'); ce plan qui a pour trace horizontale la ligne XY facile à trouver, doit donner dans le paraboloide une section rectiligne (n° 551) , laquelle est par conséquent la droite (aV, a'V); alors cette droite, jointe à (GVM, G'V'M'), déterminera un plan aêy' qui sera tangent au paraboloide, et aussi au conoïde primitif dans le point (V, V).

605. Ce plan, quoique tangent au conoïde, doit couper cette surface (n^^ 512 et 585); et l'intersection totale se composera de la droite (GVM, G'V'M') et d'une courbe passant par le point (V, V'), laquelle s'obtiendra aisément en cherchant les points de rencontre du plan aêy' avec les diverses génératrices du conoïde que nous avons construites.

§ 3. Le Biais passé , dit : Corne de vache.

606. Gette surface, employée quelquefois à voûter un passage ^i'ais compris pjQ entre deux plans verticaux parallèles AG et BD , a pour génératrice une droite mobile qui s'appuie constcmiment , 1" sur le cercle vertical (AZ'B, AB); 2" sur

un second cercle (G'Z'D', CD) égal et parallèle au premier; 3° sur une droite O'OO" perpendiculaire aux deux cercles précédents, et menée par le centre O du parallélogramme ABDG. Pour construire les diverses positions de la génératrice mobile , on mènera par la droite OO' un plan quelconque OO' K' ; il coupera les deux cercles aux points (K', K), (IV, !>) , et en les joignant par une droite ( KL, K'L' j, ce sera une génératrice de la surface en question. De même , (M'N'O', MNO") sera une autre position de la droite mobile; et quand cette ligne viendra passer par les deux points des circonférences qui sont projetés en Z', elle se trouvera horizontale , et ne rencontrera plus la directrice OO' qu'à l'infini. Au delà de cette position, la génératrice mobile s'inclinera en sens contraire, et ira couper la directrice OO' derrière le plan vertical (*).

(* ) Il y aurait, à la vérité , un autre moyen de faire remplir à la droite mobile la condition de s'appuyer constamment sur les trois directrices assignées. Car, si cette droite passant toujours par le point fixe O, glissait sur le demi-cercle supérieur (AZ'B, AB), elle rencontrerait nécessairement aussi la moitié inférieure du second cercle, et réciproquement; de sorte que la surface ainsi produite serait un cône du second degré. Mais, comme on aperçoit bien que la position de cette surface n'est point propre à former une voûte qui recouvre l'espace ACDB , nous négligeons ici ce mode de génération.

607. La surface ainsi produite est gauche, puisque deux génératrices quelconques se trouvant dans des plans menés suivant OO ', ne pourraient se couper que sur cette droite ; or elles vont la rencontrer en des points différents , comme on le voit par les projections horizontales BD, KL, MN,.... D'ailleurs, ces diverses projections formeront par leurs intersections successives, une courbe enveloppe de toutes ces droites, et qui sera le contour apparent de la surface sur le plan horizontal. Quant à la nature de cette courbe, et à l'équation de la surface elle-même, on pourra consulter l'Analyse appliquée à la géométrie des trois dimensions, chapitre XV.

608. Construisons le plan tangent de cette surface gauche , pour le point (G, G') donné sur la génératrice (MNO' , M'N'O'); et pour cela, formons d'abord un paraboloide auxiliaire ayant pour directrices trois tangentes de la surface qui soient parallèles à un même plan (n° 579). Deux de ces directrices seront les tangentes M'T' et (IS'V, NV); la troisième doit être une droite parallèle au plan vertical , et menée par le point O" dans le plan qui touche la surface en ce point. Or ce plan tangent devant contenir la droite 0"0' et la génératrice (MNO", iM'N'O'), est précisément le plan 0"0'M', et par suite, la troisième directrice du paraboloide auxiliaire est (0"|U,, O'M').

Cela posé, je fais glisser sur ces trois directrices la droite mobile (MNO", M'N'O'), et je cherche la position qu'elle prend, lorsqu'elle arrive au point (V, V), par exemple. Pour cela, je conduis par ce point et par la directrice (0"/x, O'M'), un plan dont la trace horizontale est évidemment 0"Va, et la trace verticale une droite aê' parallèle à O'M'; puis, comme ce plan rencontre la première directrice M'T' au point (ê', ê), j'en conclus que (êVy, ê' V'y') est une seconde position de la génératrice (MNO", M'N'O') du paraboloide auxiliaire. Maintenant, je coupe ces deux lignes par le plan vertical GH parallèle aux trois directrices, et la droite (GH,G'H') est une génératrice (u° 551) appartenant au second mode de génération du paraboloide ; par conséquent, le plan qui passera par les droites (GH,G'H') et (MNO", M'N'O'), savoir 0"PM', sera bien le plan tangent du paraboloide, et aussi de la surface gauche proposée, pour le point en question (G, G'). On observera que la trace PM' doit se trouver précisément parallèle à la projection verticale G'H' d'une des -droites cJUe contient ce plan.

609. De là on conclura aisément la normale de la surface gauche au point (G, G'); et en construisant de même les autres normales pour divers points de la portion (M'N', MN) de la génératrice, on obtiendrait un paraboloide