CHAPITRE V. — liXEMPLES DE SURFACES GAUCHES. - 3o

629. Quant au plan tangent de cet hélicoide, pour un point assigné sur une génératrice, il se censtruira aussi en cherchant, comme au n° 621, le pied de la tangente à l'hélice qui passera par le point donné; et ce pied se déterminera encore au moyen du triangle rectangle ODT de la^^jr. 124: mais, dans le cas actuel , les traces horizontales des divers plans tangents le long de la génératrice OD, partiront des points T, 5, Ç,..., et seront toutes parallèles à OD, puisque cette droite horizontale se trouvera commune à tous ces plans.

650. D'ailleurs, la droite (TO, Va') sur laquelle étaient situés (n° 625) les FiG. i?4. pieds des tangentes aux diverses hélices, se réduira ici à la ligue TO tracée

dans le plan horizontal; et le paraboloide de raccordement (n°* 624 et 626) aura pour ses deux plans directeurs, le plan vertical DT et le plan horizontal lui-même-

651. Enfin, le problème du n^ 627 se résoudra bien simplement, puisque étant donnée pour trace horizontale du plan assigné, une droite tO parallèle à OD, le point ô où cette trace rencontrera la ligne TO, permettra de tirer la perpendiculaire Ôâ qui fera connaître le point de contact â que l'on cherchait.

La surface dont nous parlons ici , est employée non-seulement pour former la vis à filet rectaîigulaire , mais encore pour l'épure de l'escalier, dit : vis A JOUR circulaire.

-* § 5. De la vis à filet triangulaire,

652. Imaginons un triangle isoscéle aAa', dont la base aa' coïncide tou- Fig. i25. jours avec une arête d'un cylindre vertical à base circulaire, et dont le plan passant constamment par l'axe de ce cylindre, tourne uniformément autour

de cette droite; puis, concevons que ce triangle s'élève en même temps de quantités proportionnelles aux espaces angulaires décrits par son plan mobile, et de telle sorte qu'au bout d'une révolution totale , le triangle générateur se soit élevé d'une hauteur égale à sa base aLCf.\ c'est-à-dire qu'il ait pris la position a'A'a". Aloi-s, le solide engendré par ce triangle mobile, sera le filet de la vis dont le cylindre primitif est le noyau.

655. Il est évident que, d'après ces conditions et le n° 446, le sommet A du triangle décrit une hélice ABCDEFA'B'.... qui appartient à un cylindre concentrique avec le premier, et dont le pas est égal à aa'; d'ailleurs, comme les côtés Aa et Aa' rencontrent toujours l'axe, en faisant des angles constants avec cette droite, il en résulte (n° 610) que les deux faces du

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filet sont des portions de deux hélicoïdes gauches, dont la nappe supérieure de l'un (n° 616) forme la face inférieure du filet, tandis que la face supérieure de ce filet appartient à la nappe inférieure de l'autre hélicoïde.

654. Pour représenter complètement cette vis, il faudra d'abord construire ( n° 451 ) , au moyen d'un plan horizontal que nous avons supprimé ici , la projection verticale ABCDFA'B'.... de l'hélice décrite parle point A, en observant que le pas AA' de cette hélice, doit être pris égal à la base olol' du triangle donné. Ensuite, les divisions égales de ce pas, qui sont ici au nombre de dix, devront être reportées sur l'axe, à partir des points o et i6 où cette droite est rencontrée par les côtés Aa et Aa'; ce qui produirait en général deux séries distinctes de points de division : mais ici elles n'en forment qu'une seule,

. attendu que nous avons choisi le triangle Aaa' de manière que ses côtés comprissent, sur l'axe, un nombre exact des divisions du pas de l'hélice. Cela posé, en joignant le premier point de division B de l'hélice avec les points i et 17, le point G avec 2 et 18, le point D avec 3 et 19,.-.., on obtiendra évidemment les diverses positions du triangle générateur.

655. Toutefois, il faut terminer ces droites aux points ê et ê', y et y', ù et (^',.--5 où elles vont rencontrer le noyau cylindrique de la vis. Or ceux-ci n'étant autre chose que les positions successives prises par les points a et a' du triangle mobile, il résulte du n° 614 que la courbe aêyipa'ê'.... est une hélice de même pas que ABGDFA'....; par conséquent on déterminera cette nouvelle hélice en coupant les génératrices indéfinies, par des horizontales menées des points 4 6t i4, 5 et i5, 6 et 16,.... D'ailleurs, comme le point a' est commun aux deux triangles aAa' et a'A'a", il arrivera nécessairement que l'hélice «^^(pa'ê'Y'.... sera aussi produite par les intersections des côtés Bê' et B'ê', C7' et C'y',..., ce qui offrira une vérification des constructions précédentes. Cette hélice formera ainsi l'arêle rentrante de la vis, tandis que l'arête saillante sera l'hélice ABCDFA'....

FiG. 125. 656. Quant au contour apparent des deux faces du filet, on doit bien observer qu'il n'est pas formé par deux génératrices rectilignes, mais par deux courbes XY et xj', qui sont (n" 617) les enveloppes des projections des génératrices, et qui ont pour asymptotes les génératrices particulières Aa' et A'a'. Toutefois, vu que les portions des deux hélicoïdes gauches qui forment le filet, sont peu étendues et assez éloignées de l'axe, les lignes XY et xy pourront être ici tracées approximativement comme deux droites convergentes avec a'A et a'A', et qui devront toucher, l'une les deux arcs AYB et a'Xê', 1 autre les deux arcs A'jF et a'xrp. D'ailleurs, de ces deux branches du contour

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apparent, la première XY cache une partie de la seconde xj, laquelle doit alors se terminer en un point z situé à la hauteur de a', à cause de la forme symétrique de ces deux courbes.

Ces remarques qui s'appliquent à chaque angle rentrant du filet situé à gauche, et qui se reproduiront d'une manière inverse pour les angles rentrants situés à droite, suffisent sans doute pour que le lecteur se rende compte aisément des diverses ponctuations par lesquelles nous avons exprimé, sur notre épure, les parties visibles ou invisibles de la vis en question. Nous ajouterons seulement que le rectangle UYvu représente le parallélipipède qui forme la tète de cette vis.

§6. De la vis à ^let carré.

637. Le filet de cette vis est engendré par un rectangle AaXL dont le plan, FiG. 1 26. qui passe par l'axe d'un cylindre droit et circulaire, tourne uniformément

autour de cet axe, tandis que le rectangle s'élève le long des arêtes du cylindre, de quantités proportionnelles aux espaces angulaires décrits par son plan mobile. Il en résulte évidemment que les points A et L décrivent, dans ce mouvement, deux hélices égales, dont le pas commun AA' ou LL' peut être choisi arbitrairement, pourvu qu'il égale au moins le double de AI^, afin de laisser un libre passage au filet saillant de l'écrou qui engrène avec la vis. D'ailleurs, les deux côtés Aa et LX qui s'appuieront toujours sur ces hélices et sur Taxe, en coupant celui-ci sous un angle droit, engendreront des faces gauches qui appartiendront (n° 628) à des hélicoïdes à plan directeur; tandis que le côté AL décrira une zone cylindrique, qui terminera extérieurement le filet de cette vis.

638. Pour représenter graphiquement la vis à filet carré, il faut d'abord

construire les deux hélices de même pas ABCDEFA'F' , LMNPQRL'R' ,

en se servant (n°451) d'un plan horizontal que nous avons supprimé ici; puis, tracer semblablement sur le cylindre du noyau, les deux autres hélices

(x£yâc(paf , X/xttp , qui sont produites (n° 628) par les points a et X, et dont

le pas commun aa' doit égaler AA'. Ces deux dernières courbes sont les intersections du noyau de la vis avec les faces inférieure et supérieure du filet, et elles servent à limiter les portions de génératrices Bê etMjx, Dâ et Ptt, F^ et

Rp, qui appartiennent à ces deux faces gauches. Enfin, on pourra ajouter

quelques-unes des arêtes du cylindre extérieur, telles que BM, GN, DP,....

639. Parmi les diverses lignes dont nous venons de parler, le lecteur dis-

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cernera aisément celles qui sont visibles de celles qui se trouvent cachées. Nous avons tracé les unes et les autres complètement dans la première spire du filet , en les ponctuant d'une manière convenable à leur position ; mais , dans les autres spires, nous n'avons conservé que les lignes visibles, afin d'offrir ici un résultat tout à fait conforme à celui que présenterait au spectateur la vue de l'objet en relief.

§ "j . Du conoïde de la voûte d'arêtes en tour ronde.

640. En écartant les circonstances qui sont spécialement relatives à la stéréotomie, la question se réduira ici à trouver l'intersection d'un tore avec un conoïde, courbe dont les tangentes donnent lieu à des recherches nouvelles, et

FiG. 12 '7. qui trouveront des applications utiles dans la Coupe des pierres. Le tore est engendré par la révolution du demi-cercle B'G'6' qui, relevé dans le plan vertical B'w , tourne autour de la verticale w , et forme la surface intérieure de la voûte principale qu'on nomme un berceau tournant. Une porte pratiquée dans cette première voûte , et limitée aux plans verticaux F^et Gg qui convergent vers l'axe delà tour, est recouverte par un conoïde dont la génératrice rectiligne demeure toujours horizontale, en glissant sur la verticale w et sur une seconde directrice formée de la manière suivante. On rectifie l'arc AOD suivant sa tangente aO</, et sur cette droite comme grand axe, on décrit une demi-ellipse A"G"D" dont le demi-axe vertical 0"G' est égal au rayon OB ou O'B' du tore ; puis, en imaginant que cette ellipse placée d'abord ^dans le plan vertical aOd^ soit roulée sur le cylindre droit AOD , de manière que ses abscisses coïncident avec les arcs de cette circonférence , et ses ordonnées avec les arêtes verticales du cylindre, cette ellipse deviendra une ligne à double courbure projetée sur AOD, et que l'on adopte pour la seconde directrice ou pour la base du conoïde.

641. Gela posé, pour obtenir l'intersection de ce conoïde avec le tore, coupons ces deux surfaces par divers plans horizontaux. Celui qui passera par le point M' du méridien B'G'6', coupera le tore suivant deux cercles décrits avec les rayons wP' et w/?'; puis, si l'on cherche sur l'ellipse les points M" et W qui sont à la même hauteur que M', et que l'on prenne les arcs OP et OQ égaux aux abscisses 0"P" et O'Q", les points P et Q seront évidemment les projections des points où la base du conoïde est rencontrée par le plan sécant horizontal; et par suite, les sections faites dans cette surface seront deux droites projetées sur wP et wQ. Or ces droites rencontrent les deux sec-